[论文解读] A fourth-order compact solver for fractional-in-time fourth-order diffusion equations

Jialing Zhong, Hong-lin Liao+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于具有第一类Dirichlet边界条件的时间分数阶四阶亚扩散方程的四阶紧凑有限差分格式。通过将问题重新表述为二阶系统，并采用平均紧凑算子进行空间逼近，该方法实现了四阶空间精度，并通过在graded非均匀L1公式中处理Caputo导数来处理初始奇异性，利用离散分数阶Grönwall不等式和误差卷积结构进行严格的稳定性与收敛性分析，确认了最优时间收敛阶 $ O(\tau^{\min\{\gamma\sigma,2-\alpha\}}) $。

ABSTRACT

A fourth-order compact scheme is proposed for a fourth-order subdiffusion equation with the first Dirichlet boundary conditions. The fourth-order problem is firstly reduced into a couple of spatially second-order system and we use an averaged operator to construct a fourth-order spatial approximation. This averaged operator is compact since it involves only two grid points for the derivative boundary conditions. The L1 formula on irregular mesh is considered for the Caputo fractional derivative, so we can resolve the initial singularity of solution by putting more grid points near the initial time. The stability and convergence are established by using three theoretical tools: a complementary discrete convolution kernel, a discrete fractional Gronwall inequality and an error convolution structure. Some numerical experiments are reported to demonstrate the accuracy and efficiency of our method.

研究动机与目标

• 开发一种用于具有第一类Dirichlet边界条件的时间分数阶四阶亚扩散方程的高阶数值方法。
• 通过graded非均匀时间网格，有效解决由Caputo分数阶导数引起的解的初始奇异性。
• 通过基于平均算子的紧凑有限差分格式，实现四阶空间精度。
• 利用离散分数阶Grönwall不等式和误差卷积结构等理论工具，严格证明该格式的稳定性和收敛性。
• 通过广泛的数值实验验证理论结果，涵盖不同分数阶阶数和网格参数。

提出的方法

• 通过引入辅助变量 $ v = \partial_x^2 u $，将四阶亚扩散方程重新表述为耦合的二阶方程组。
• 构造紧凑平均算子，以在仅涉及两个网格点的紧凑星形格式下实现四阶空间精度，同时满足边界条件。
• 在graded网格 $ t_k = (k/N)^\gamma T $ 上应用非均匀L1公式处理Caputo分数阶导数，其中 $ \gamma \geq 1 $，以解决初始奇异性。
• 利用三个关键工具证明稳定性和收敛性：互补的离散卷积核、离散分数阶Grönwall不等式以及误差卷积结构。
• 在空间和时间上实现该方法，采用均匀空间网格与graded时间网格，通过 $ \text{Order}(M) \approx \log_2(e(M,N)/e(2M,N)) $ 和 $ \text{Order}(N) \approx \log_2(e(M,N)/e(M,2N)) $ 计算收敛速率。
• 在多种场景下开展数值实验，改变 $ \alpha $、$ \sigma $、$ \gamma $ 和网格尺寸，以验证精度与效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有第一类Dirichlet边界条件的时间分数阶四阶亚扩散方程构造一个四阶紧凑格式？
• RQ2 如何通过非均匀时间网格有效解决解中的初始奇异性？
• RQ3 该格式的最优时间收敛阶是多少？其如何依赖于grading参数 $ \gamma $ 和解正则性参数 $ \sigma $？
• RQ4 能否利用离散分数阶Grönwall不等式和误差卷积结构严格证明该格式的稳定性和收敛性？
• RQ5 在不同分数阶阶数和网格参数下，该格式是否能实现四阶空间精度与最优时间收敛性？

主要发现

• 数值实验确认，该格式实现了四阶空间精度，所有测试案例中空间收敛阶均接近4.00。
• 时间收敛速率与理论预测 $ O(\tau^{\min\{\gamma\sigma,2-\alpha\}}) $ 一致，当 $ \gamma > (2-\alpha)/\sigma $ 时，观察到最优 $ O(\tau^{2-\alpha}) $ 收敛阶。
• 对于均匀网格（$ \gamma = 1 $），时间收敛阶为 $ O(\tau^{\sigma}) $，与理论分析一致，并在表3中得到验证。
• 即使对于高正则性解（$ \sigma = 1.9 $），该格式仍保持稳定与收敛，对 $ \alpha = 0.9 $ 时时间收敛阶约为1.10。
• 表4–6的数值结果证实，$ L^\infty $ 误差估计 $ \|u - U^n\|_{\infty} = O(\tau^{\min\{\gamma\sigma,2-\alpha\}}) $ 是紧致的，观测到的收敛阶与理论边界一致。
• 通过graded网格，该方法有效解析初始层行为，表现为即使存在强初始奇异性，收敛速率仍保持一致。