[论文解读] A Fractional Subgrid-scale Model for Turbulent Flows: Theoretical Formulation and a Priori Study

Mehdi Samiee, Ali Akhavan-Safaei+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 66被引用 6

一句话总结

该论文通过使用 Lévy-稳定分布对平衡分布函数进行建模，提出了一种用于湍流大涡模拟（LES）的分数阶亚格子尺度（SGS）模型，由此导出的分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^{\alpha}$ 能够捕捉非局部、非高斯的 SGS 应力。该模型的单一参数 $\alpha$ 依赖于滤波宽度和雷诺数，先验测试表明在均匀各向同性湍流中，其预测能力优于经典模型。

ABSTRACT

Coherent structures/motions in turbulence inherently give rise to intermittent signals with sharp peaks, heavy-skirt, and skewed distributions of velocity increments, highlighting the non-Gaussian nature of turbulence. That suggests that the spatial nonlocal interactions cannot be ruled out of the turbulence physics. Furthermore, filtering the Navier-Stokes equations in the large eddy simulation of turbulent flows would further enhance the existing nonlocality, emerging in the corresponding subgrid scale fluid motions. That urges the development of new nonlocal closure models, which respect the corresponding non-Gaussian statistics of the subgrid stochastic motions. To this end and starting from the filtered Boltzmann equation, we model the corresponding equilibrium distribution function with a extit{Lévy}-stable distribution, leading to the proposed fractional-order modeling of subgrid-scale stresses. We approximate the filtered equilibrium distribution function with a power-law term, and derive the corresponding filtered Navier-Stokes equations. Subsequently in our functional modeling, the divergence of subgrid-scale stresses emerges as a single-parameter fractional Laplacian, $(-Δ)^α(\cdot)$, $α\in (0,1]$, of the filtered velocity field. The only model parameter, i.e., the fractional exponent, appears to be strictly depending on the filter-width and the flow Reynolds number. We furthermore explore the main physical and mathematical properties of the proposed model under a set of mild conditions. Finally, the introduced model undergoes extit{a priori} evaluations based on the direct numerical simulation database of forced and decaying homogeneous isotropic turbulent flows at relatively high and moderate Reynolds numbers, respectively. Such analysis provides a comparative study of predictability and performance of the proposed fractional model.

研究动机与目标

• 解决湍流中亚格子尺度（SGS）运动的非高斯性、间歇性和非局部性特征，这些特征在经典基于高斯分布的模型中难以准确捕捉。
• 克服传统 LES 模型在 SGS 应力闭合中假设局部性、马尔可夫性和高斯统计的局限性。
• 基于滤波玻尔兹曼方程和统计力学原理，构建一个物理解释一致的、非局部的 SGS 模型。
• 建立 Lévy-稳定分布与湍流建模中分数阶算子之间的理论框架。
• 通过使用强迫和衰减的均匀各向同性湍流的直接数值模拟（DNS）数据库进行先验分析，验证模型的预测能力。

提出的方法

• 通过使用 Lévy-稳定分布对平衡分布函数进行建模，从滤波玻尔兹曼方程推导滤波后的纳维-斯托克斯方程。
• 将滤波后的平衡分布近似为幂律项，从而导出分数阶亚格子尺度应力模型。
• 将 SGS 应力的散度表示为单参数分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^{\alpha}$，其中 $\alpha \in (0,1]$。
• 通过理论和渐近分析，将模型参数 $\alpha$ 确定为滤波宽度和雷诺数的函数。
• 利用泰勒展开和主值积分，推导分数阶应力散度的非局部积分形式。
• 在高雷诺数和中等雷诺数的均匀各向同性湍流 DNS 数据上，对模型进行先验测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于 Lévy-稳定统计的分数阶模型是否能更好地捕捉湍流中亚格子尺度运动的非高斯性、间歇性和非局部性特征？
• RQ2 分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^{\alpha}$ 如何从滤波玻尔兹曼方程和 Lévy-稳定平衡分布的选择中自然导出？
• RQ3 分数阶指数 $\alpha$ 对滤波宽度和雷诺数等物理参数的依赖关系如何？
• RQ4 在先验测试中，所提出的分数阶 SGS 模型与经典模型相比，其预测性能如何？
• RQ5 分数阶模型的非局部结构是否保持了框架不变性与热力学第二定律等基本物理原理？

主要发现

• 分数阶 SGS 模型将亚格子尺度应力的散度表示为滤波速度场的分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^{\alpha}$，其中 $\alpha \in (0,1]$。
• 模型参数 $\alpha$ 严格依赖于滤波宽度和雷诺数，表明存在物理上的标度关系。
• 在大分离距离处（$\bar{\Delta} > 1$），平衡分布函数表现出重尾行为，与 Lévy-稳定统计及非高斯间歇性一致。
• 分布的渐近形式导致幂律衰减 $\sim \bar{\Delta}^{-\alpha + d/2}$，为分数阶算子的应用提供了理论依据。
• 先验分析表明，与经典模型相比，分数阶模型在亚格子尺度能量传递的预测能力方面表现更优。
• 所导出的应力散度积分形式与非局部积分的主值一致，保持了物理一致性与框架不变性。