[论文解读] A Furstenberg type formula for the speed of distance stationary sequences

Matías Carrasco, Pablo Lessa+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文为距离平稳随机序列的速度建立了一个Furstenberg型公式，使得以分析黎曼对称空间上随机游走的线性漂移。作者将该公式应用于双曲空间中的Poisson-Delaunay随机游走，证明当Poisson过程的强度趋于零时，其调和测度表现出维数下拉——其Hausdorff维数严格小于$d-1$。

ABSTRACT

We prove a formula for the speed of distance stationary random sequences. A particular case is the classical formula for the largest Lyapunov exponent of an i.i.d. product of two by two matrices in terms of a stationary measure on projective space. We apply this result to Poisson-Delaunay random walks on Riemannian symmetric spaces. In particular, we obtain sharp estimates for the asymptotic behavior of the speed of hyperbolic Poisson-Delaunay random walks when the intensity of the Poisson point process goes to zero. This allows us to prove that a dimension drop phenomena occurs for the harmonic measure associated to these random walks. With the same technique we give examples of co-compact Fuchsian groups for which the harmonic measure of the simple random walk has dimension less than one.

研究动机与目标

• 通过随机horofunction推导距离平稳序列速度的一般Furstenberg型公式。
• 证明在度数偏差下，黎曼对称空间上的Poisson-Delaunay随机游走是距离平稳的。
• 分析当Poisson过程强度趋于零时，双曲空间中Poisson-Delaunay随机游走的渐近速度。
• 证明此类游走的调和测度表现出维数下拉——其Hausdorff维数严格小于$d-1$——在低强度下成立。
• 构造共(compact)Fuchsian群的例子，使得简单随机游走的调和测度维数小于1。

提出的方法

• 基于距离平稳序列的过去尾部定义一个随机horofunction $\xi$，以捕捉线性漂移。
• 证明期望速度 $\mathbb{E}[\ell] = -\mathbb{E}[\xi(x_0) - \xi(x_1)]$，推广了Furstenberg对Lyapunov指数的公式。
• 利用度数偏差证明Poisson-Delaunay随机游走是距离平稳的，从而可应用速度公式。
• 通过零一律建立游走速度的遍历性，证明图速度与环境速度几乎必然为常数。
• 利用Delaunay边上的几何与概率估计，推导出当 $\lambda \to 0$ 时环境速度 $\ell_\lambda$ 的精确渐近估计。
• 应用速度公式与熵界，证明 $\dim(\nu_\lambda) \leq h_\lambda / \ell_\lambda$，当 $h_\lambda / \ell_\lambda \to (d-1)/2$ 时导致维数下拉。

实验结果

研究问题

• RQ1 Furstenberg型公式能否推广至i.i.d.矩阵乘积之外的距离平稳序列？
• RQ2 当Poisson过程强度 $\lambda$ 趋于零时，双曲空间中Poisson-Delaunay随机游走的速度渐近行为如何？
• RQ3 Poisson-Delaunay随机游走在双曲空间中的调和测度在低强度下是否表现出维数下拉？
• RQ4 对于哪些共(compact)Fuchsian群，简单随机游走的调和测度维数小于1？
• RQ5 在对称空间中，Poisson-Delaunay游走的图速度与环境速度之间有何关系？

主要发现

• 距离平稳序列的速度满足 $\mathbb{E}[\ell] = -\mathbb{E}[\xi(x_0) - \xi(x_1)]$，其中 $\xi$ 是从过去尾部导出的随机horofunction。
• 对于i.i.d. $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 矩阵乘积，该公式恢复了经典Furstenberg公式对最大Lyapunov指数的表达。
• 双曲空间中Poisson-Delaunay随机游走的环境速度 $\ell_\lambda$ 满足 $\ell_\lambda \sim \frac{1}{2} \log(\lambda^{-1})$，当 $\lambda \to 0$ 时成立。
• 游走的图速度在 $\lambda \to 0$ 时趋于其最大可能值1，解决了[BPP14]中的一个开放问题。
• 调和测度 $\nu_\lambda$ 的维数满足 $\limsup_{\lambda \to 0} \dim(\nu_\lambda) \leq \frac{d-1}{2}$，从而证明了维数下拉。
• 对于低强度的双曲空间Poisson-Delaunay游走，几乎必然有 $\dim(\nu_\lambda) < d-1$，确认了维数下拉现象。