[论文解读] A Galois connection between classical and intuitionistic logics. I: Syntax

Sergey A. Melikhov|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 51被引用 9

一句话总结

本文提出了 QHC，这是直觉主义（QH）和经典（QC）谓词演算的保守扩展，通过引入新的模态联结词 $\nabla$ 和 $\bigcirc$，在 QH 和 QC 的 Lindenbaum 偏序集之间建立一个伽罗瓦连接。主要贡献是通过双重收缩映射统一了数学知识的两种模式——知识性（命题）与知识性（问题）：柯尔莫哥洛夫的双重否定翻译将 QH 嵌入 QHC，而哥德尔的可证性翻译将 QC+($\nabla\bigcirc$) 嵌入 QHC，并将其识别为 QS4 模态逻辑。

ABSTRACT

In a 1985 commentary to his collected works, Kolmogorov remarked that his 1932 paper "was written in hope that with time, the logic of solution of problems [i.e., intuitionistic logic] will become a permanent part of a [standard] course of logic. A unified logical apparatus was intended to be created, which would deal with objects of two types - propositions and problems." We construct such a formal system, as well as its predicate version QHC, which is a conservative extension of both the intuitionistic predicate calculus QH and the classical predicate calculus QC. The only new connectives ? and ! of QHC induce a Galois connection (i.e., a pair of adjoint functors) between the Lindenbaum posets (i.e. the underlying posets of the Lindenbaum algebras) of QH and QC. Kolmogorov's double negation translation of propositions into problems extends to a retraction of QHC onto QH; whereas Goedel's provability translation of problems into modal propositions extends to a retraction of QHC onto its QC+(?!) fragment, identified with the modal logic QS4. The QH+(!?) fragment is an intuitionistic modal logic, whose modality !? is a strict lax modality in the sense of Aczel - and thus resembles the squash/bracket operation in intuitionistic type theories. The axioms of QHC attempt to give a fuller formalization (with respect to the axioms of intuitionistic logic) to the two best known contentual interpretations of intiuitionistic logic: Kolmogorov's problem interpretation (incorporating standard refinements by Heyting and Kreisel) and the proof interpretation by Orlov and Heyting (as clarified by Gödel). While these two interpretations are often conflated, from the viewpoint of the axioms of QHC neither of them reduces to the other one, although they do overlap.

研究动机与目标

• 为了形式化一个统一的逻辑框架，使命题（知识性）与问题（知识性）在同等地位上得到处理，回应柯尔莫哥洛夫关于单一逻辑装置统一处理两者的愿景。
• 为了构建 QHC，即直觉主义谓词演算（QH）和经典谓词演算（QC）的保守扩展，同时保持其各自的证明论结构。
• 为了通过新联结词 $\nabla$ 和 $\bigcirc$ 在 QH 和 QC 的 Lindenbaum 偏序集之间建立伽罗瓦连接，从而形式化直觉主义与经典推理之间的对偶性。
• 为了在单一形式系统中调和直觉逻辑的两种历史不同解释——柯尔莫哥洛夫的问题解释与奥尔洛夫和海廷的证明解释——而不将其中一种还原为另一种。
• 为了将柯尔莫哥洛夫的双重否定翻译与哥德尔的可证性翻译扩展为从 QHC 到 QH 和 QC+($\nabla\bigcirc$) 的完整收缩映射，分别识别后者为模态逻辑 QS4。

提出的方法

• 引入两个新的模态联结词：$\nabla$（与 $\bigcirc$ 对偶）用于将命题映射为问题，$\bigcirc$ 用于将问题映射回模态命题。
• 将 QHC 定义为 QH 和 QC 的保守扩展，通过添加形式化 $\nabla$ 与 $\bigcirc$ 之间相互作用的公理，使其在 QH 和 QC 的 Lindenbaum 偏序集上诱导出一个伽罗瓦连接。
• 通过柯尔莫哥洛夫的双重否定翻译，构建从 QHC 到 QH 的收缩映射，证明在 QH 中有 $\nabla\bigcirc p \to p$ 成立，从而将直觉主义逻辑作为收缩子结构嵌入。
• 构建从 QHC 到片段 QC+($\nabla\bigcirc$) 的收缩映射，通过哥德尔的可证性翻译证明该片段同构于模态逻辑 QS4。
• 利用 QHC 的公理，形式化柯尔莫哥洛夫的问题解释（通过 $\nabla$）与证明解释（通过 $\bigcirc$），确保二者在逻辑上独立但相互关联。
• 通过序理论对偶性，将 QH 和 QC 的 Lindenbaum 偏序集视为范畴，利用 $\nabla$ 和 $\bigcirc$ 定义一对伴随函子（即伽罗瓦连接）在它们之间建立联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个单一的形式系统，使其保守扩展直觉主义和经典谓词逻辑，同时保持其各自语义解释的独立性？
• RQ2 如何利用诱导出直觉逻辑与经典逻辑底层偏序集之间伽罗瓦连接的模态算子，形式化命题（知识性）与问题（知识性）之间的对偶性？
• RQ3 柯尔莫哥洛夫的问题解释与直觉逻辑的证明解释在统一系统中在多大程度上共存而不互相还原？
• RQ4 哥德尔的可证性翻译与柯尔莫哥洛夫的双重否定翻译能否被扩展为从一个共同系统到 QH 和 QC+($\nabla\bigcirc$) 的完整收缩映射？
• RQ5 模态 $\bigcirc\nabla$ 在 QHC 中的精确逻辑角色是什么？它与直觉类型论中的 squash/bracket 操作有何关系？

主要发现

• QHC 是 QH 和 QC 的保守扩展，确保直觉主义与经典逻辑的所有定理在扩展系统中依然有效。
• 联结词 $\nabla$ 与 $\bigcirc$ 在 QH 与 QC 的 Lindenbaum 偏序集之间诱导出一个伽罗瓦连接，形式化了命题与问题之间的对偶性。
• 柯尔莫哥洛夫的双重否定翻译可扩展为从 QHC 到 QH 的收缩映射，且在 QH 中有 $\nabla\bigcirc p \to p$ 可证。
• 哥德尔的可证性翻译可扩展为从 QHC 到片段 QC+($\nabla\bigcirc$) 的收缩映射，该片段被识别为模态逻辑 QS4。
• QH+($\bigcirc\nabla$) 片段是一种直觉主义模态逻辑，其模态 $\bigcirc\nabla$ 是一种‘严格宽松模态’，类似于直觉类型论中的 squash/bracket 操作。
• 柯尔莫哥洛夫的问题解释与证明解释在 QHC 中均不被对方还原，但通过 $\nabla$ 与 $\bigcirc$ 共享的框架实现统一。