[论文解读] Metrizable uniform spaces

Sergey A. Melikhov|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 77被引用 9

一句话总结

本文证明了可度量化一致空间上的商一致结构可诱导出可度量化的拓扑，从而使得锥、连通和映射柱等自然同伦上积构造在与度量结构相容的前提下得以实现。本文证明了紧致多面体的迭代环路空间是统一的绝对邻域形变 retract（uniform ANR），并给出了在可度量化情形下统一 ANR 的四种等价刻画，解决了几何与代数拓扑中因非可度量化商拓扑和病态函数空间所引发的基础性问题。

ABSTRACT

Three themes of general topology: quotient spaces; absolute retracts; and inverse limits - are reapproached here in the setting of metrizable uniform spaces, with an eye to applications in geometric and algebraic topology. The results include: 1) If f: A -> Y is a uniformly continuous map, where X and Y are metric spaces and A is a closed subset of X, we show that the adjunction space X\cup_f Y with the quotient uniformity (hence also with the topology thereof) is metrizable, by an explicit metric. This yields natural constructions of cone, join and mapping cylinder in the category of metrizable uniform spaces, which we show to coincide with those based on subspace (of a normed linear space); on product (with a cone); and on the isotropy of the l_2 metric. 2) We revisit Isbell's theory of uniform ANRs, as refined by Garg and Nhu in the metrizable case. The iterated loop spaces Ω^n P of a pointed compact polyhedron P are shown to be uniform ANRs. Four characterizations of uniform ANRs among metrizable uniform spaces X are given: (i) the completion of X is a uniform ANR, and the remainder is uniformly a Z-set in the completion; (ii) X is uniformly locally contractible and satisfies the Hahn approximation property; (iii) X is uniformly ε-homotopy dominated by a uniform ANR for each ε>0; (iv) X is an inverse limit of uniform ANRs with "nearly splitting" bonding maps. Several chapters are devoted primarily to exposition: (I) an introduction to uniform spaces, with a focus on the metrizable case; (V) the space of measurable functions; (VI) the space of probability measures and other measure spaces.

研究动机与目标

• 解决由非可度量化商拓扑和病态函数空间引发的几何与代数拓扑中的基础性缺陷。
• 证明可度量化一致空间上的商一致结构可诱导出可度量化的拓扑，从而实现行为良好的同伦上积。
• 在可度量化设定下重构 Isbell 的统一 ANR 理论，提出新的刻画，并证明紧致多面体的迭代环路空间是统一 ANR。
• 证明概率测度空间在 Kantorovich–Rubinstein 范数下是统一收缩的且统一局部收缩的，并分析其形变重影性质。

提出的方法

• 为从属于 $X$ 的闭子集 $A$ 到 $Y$ 的一致连续映射 $f: A \to Y$ 构造 adjunction 空间 $X \cup_f Y$ 上的显式度量，确保商一致结构的可度量化性。
• 利用商一致结构定义同伦上积（锥、连通、映射柱），其结果与赋范线性空间或 $l_2$ 度量下的标准构造一致。
• 应用一致扩张理论与精细一致结构，证明一致连续映射到完备局部凸空间可连续延拓至其全域扩张。
• 通过完备化、局部收缩性、$\varepsilon$-同伦支配性以及几乎可分裂的绑定映射的逆极限刻画统一 ANR。
• 利用 Kantorovich–Rubinstein 范数在概率测度上证明统一收缩性并分析重影性质。
• 利用 Dugundji 的扩张定理与线性同伦，证明 $PM_\tau(X)$、$PM_\rho(X)$ 与 $PM_\delta(X)$ 是绝对重影形且统一收缩的。

实验结果

研究问题

• RQ1 可度量化一致空间上的商一致结构是否能产生可度量化的拓扑，从而克服标准商拓扑在同伦上积中不可度量化的缺陷？
• RQ2 在赋范空间中标准构造的锥、连通与映射柱是否与在可度量化一致空间范畴中通过商一致结构定义的构造一致？
• RQ3 带基点的紧致多面体 $P$ 的迭代环路空间 $\Omega^nP$ 在可度量化设定下是否为统一 ANR？
• RQ4 在可度量化一致空间中，统一 ANR 的等价刻画是什么？它们与完备化、局部收缩性及逆极限有何关联？
• RQ5 在何种条件下，配备 Kantorovich–Rubinstein 范数的概率测度空间是统一 AR 或重影形？

主要发现

• 当 $f: A \to Y$ 一致连续且 $A$ 在 $X$ 中闭时，$X \cup_f Y$ 配备商一致结构后是可度量化的，通过显式度量构造实现。
• 当配备商一致结构时，$\mathbb{R}$ 上的锥是可度量化的，解决了标准商拓扑不可度量化的问题。
• 带基点的紧致多面体 $P$ 的迭代环路空间 $\Omega^nP$ 是统一 ANR，将统一 ANR 理论扩展至代数拓扑中的重要例子。
• 在可度量化一致空间中，统一 ANR 的四种等价刻画被确立：(i) 完备化为统一 ANR 且余集为统一 Z-集；(ii) 统一局部收缩且满足 Hahn 近似性；(iii) 对每个 $\varepsilon > 0$，$\varepsilon$-同伦支配于某统一 ANR；(iv) 统一 ANR 的逆极限，其绑定映射几乎可分裂。
• $PM_\tau(X)$、$PM_\rho(X)$ 与 $PM_\delta(X)$ 概率测度空间在 Kantorovich–Rubinstein 范数下是绝对重影形且统一收缩的。
• 对于单位球不是 AR 的可分度量空间 $B$，$PM_\tau(B)$、$PM_\rho(B)$ 与 $PM_\delta(B)$ 不是统一 AR，表明统一 AR 性质依赖于几何约束。