[论文解读] A Gel'fand-type spectral radius formula and stability of linear constrained switching systems

Xiongping Dai|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2011

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文在切换约束下为线性切换系统建立了Gel'fand型谱半径公式，利用遍历理论证明了在受限切换信号下，联合谱半径等于广义谱半径。关键贡献在于提出了此类系统绝对指数稳定性的稳定性准则，通过紧致子移位上的不变测度，将Berger-Wang公式推广至非代数的、受限的切换信号子集。

ABSTRACT

Using ergodic theory, in this paper we present a Gel'fand-type spectral radius formula which states that the joint spectral radius is equal to the generalized spectral radius for a matrix multiplicative semigroup $\bS^+$ restricted to a subset that need not carry the algebraic structure of $\bS^+$. This generalizes the Berger-Wang formula. Using it as a tool, we study the absolute exponential stability of a linear switched system driven by a compact subshift of the one-sided Markov shift associated to $\bS$.

研究动机与目标

• 将Berger-Wang公式推广至不必然保持代数结构的切换约束线性切换系统。
• 为受限于单边马尔可夫移位紧致不变子集的矩阵半群建立Gel'fand型谱半径公式。
• 利用遍历理论工具和谱半径等式，研究受限线性切换系统的绝对指数稳定性。
• 基于约束下谱半径与联合谱半径等价性，提供稳定性充分条件。

提出的方法

• 利用遍历理论分析与矩阵族相关的单边马尔可夫移位的紧致子移位上的不变测度。
• 在全移位空间的闭合、不变子集Λ上，定义受限切换系统的联合谱半径与广义谱半径。
• 应用次可加遍历定理，将典型轨迹上矩阵积的增长率与谱半径关联。
• 通过相似变换采用分块三角化技术，将问题约化为低维子系统。
• 基于矩阵维数的归纳法及乘积有界性假设，当谱半径超过1时导出矛盾。
• 利用Λ中周期词的结构及不变测度的存在性，将受限矩阵积的谱范数与谱半径关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 当允许的切换信号构成移位空间中非代数的紧致不变子集时，受限切换系统的联合谱半径与广义谱半径是否仍相等？
• RQ2 若周期切换信号在约束集Λ中稠密，当限制在周期词上时，谱半径公式是否仍然成立？
• RQ3 定理B中的稳定性等价性是否可推广至广义谱半径不假设为1的系统？
• RQ4 若矩阵族有界，Gel'fand型公式在非紧致、不变的闭子集Λ上是否仍成立？

主要发现

• 当切换信号受限于紧致、不变的子移位时，受限线性切换系统的联合谱半径等于其广义谱半径，推广了Berger-Wang公式。
• 对于具有紧致、不变约束集Λ的线性切换系统，绝对指数稳定性等价于广义谱半径严格小于1。
• 证明依赖于矩阵族在相似变换下的分块三角化，将问题约化为谱半径严格小于1的低维子系统。
• 定理B中ρ(S) = 1的假设被证明对蕴含关系(c) ⇒ (a)是充分但非必要的，表明该结果可能在无此假设时仍成立。
• Λ上不变测度的存在性使得可运用遍历理论工具，将矩阵范数的渐近增长率与谱半径等同。
• 本文在无界性假设下构造了反例，表明若系统非乘积有界，则谱半径等式不成立。