[论文解读] A General Fredholm Theory III: Fredholm Functors and Polyfolds

Helmut Hofer, Kris Wysocki+1 more|ArXiv.org|Oct 3, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文通过弗雷德霍姆函子与ep-群胚，为多叶流形建立了广义弗雷德霍姆理论，将经典弗雷德霍姆理论推广至无穷维与奇异空间。该理论引入了一套框架，通过sc-微分形式定义并积分加权分支子流形，从而在横截性障碍存在的情况下，实现辛几何场论与格罗莫夫-威滕理论中的不变量构造。

ABSTRACT

We describe a very general (nonlinear) Fredholm theory for a new class of ambient spaces, called polyfolds. The basic feature of these new spaces is that in general they may have locally varying dimensions. These new spaces are needed for a functional analytic treatment of nonlinear problems involving analytic limiting behavior. This theory is applicable to Gromov-Witten and Floer Theory as well as Symplectic Field Theory.

研究动机与目标

• 通过新的范畴论框架，将弗雷德霍姆理论推广至无穷维与奇异空间。
• 将多叶流形定义为第二可数、仿紧的空间，其局部模型为基于M-多叶流形的ep-群胚的莫里塔等价类。
• 发展与局部对称性相容的弗雷德霍姆函子理论，通过多值函子实现扰动技术。
• 为源自横截解的加权分支子流形上的sc-微分形式建立明确定义的积分理论。
• 为计算辛几何场论与格罗莫夫-威滕理论中的不变量提供基础框架。

提出的方法

• 使用ep-群胚——即埃坦-紧致李群胚的推广——作为多叶流形的局部模型，其基础为M-多叶流形。
• 定义强多叶丛，其具有双重整数滤过 $W_{n,k}$，其中 $k$ 表示纤维正则性，$n$ 表示基空间正则性。
• 引入弗雷德霍姆函子作为与态射相容的广义弗雷德霍姆截面，允许通过多值函子实现函子化扰动。
• 利用ep-群胚上连续且在态射下不变的单位分解，在强丛上构造辅助范数。
• 通过连续单位分解 $\beta_x$ 将局部范数 $\widehat{N}_x$ 背靠背粘合，建立丛 $E$ 上的全局辅助范数 $N$。
• 将理论应用于通过sc-微分形式在分支ep-子群胚上定义积分，推广斯托克斯定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 当标准横截性失效时，如何将弗雷德霍姆理论扩展至无穷维与奇异空间？
• RQ2 ep-群胚在将轨道丛结构推广至多叶流形中起到何种作用？
• RQ3 即使单值扰动失败，弗雷德霍姆函子能否通过函子化方式实现横截性？
• RQ4 如何在解集并非流形或轨道丛，而是加权分支子流形时定义积分？
• RQ5 弗雷德霍姆函子的解集具有何种结构？其如何支持明确定义的积分理论？

主要发现

• 横截弗雷德霍姆函子的解集为加权分支子流形或子轨道丛，而非流形或轨道丛。
• ep-群胚上存在连续且在态射下不变的单位分解，从而可构造全局定义的辅助范数。
• 强丛 $E$ 上的辅助范数 $N$ 构造为局部范数 $\widehat{N}_x$ 的凸组合，其权重为连续单位分解 $\beta_x$。
• 在分支ep-子群胚上，sc-微分形式的积分理论满足斯托克斯定理，从而可定义不变量。
• 该理论为通过分支结构上的积分计算辛几何场论与格罗莫夫-威滕理论中的不变量提供了基础。
• ep-群胚 $X$ 的轨道空间 $|X|$ 携带一个自然的 $\text{sc}^0$-结构，且等价的多叶流形结构在轨道空间上诱导出 $\text{sc}^0$-同胚。