[论文解读] A generalised Kotz type distribution and Riesz distribution

José A. Dı́az-Garcı́a|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2013

Matrix Theory and Algorithms参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文通过推导满足 Y = X*X 服从实赋范除法代数上 Riesz 分布的随机矩阵 X 的分布，引入了 Kotz-Riesz 分布，作为矩阵 variate 正态分布和 Wishart 分布的推广。主要贡献在于提出了 Kotz-Riesz 分布的两个版本及其特征函数，通过 Riesz 测度将多变量椭圆分布扩展至非正态、重尾设定。

ABSTRACT

This article derives the distribution of random matrix $\mathbf{X}$ associated with the transformation $\mathbf{Y} = \mathbf{X}^{*}\mathbf{X}$, such that $\mathbf{Y}$ has a Riesz distribution for real normed division algebras. Two versions of this distributions are proposed and some of their properties are studied.

研究动机与目标

• 通过基于 Riesz 测度的新分布类，推广矩阵 variate 正态分布和 Wishart 分布。
• 为实赋范除法代数（R, C, H, O）上的随机矩阵定义并研究 Kotz-Riesz 分布的两个版本。
• 通过矩阵变换建立 Riesz 分布与新 Kotz-Riesz 分布之间的联系。
• 推导 Kotz-Riesz 分布的特征函数与矩生成函数，以用于多变量统计推断。
• 将现有椭圆分布理论扩展至多变量分析中的非正态、重尾模型。

提出的方法

• 利用实赋范除法代数上的矩阵 variate 变换，推导满足 Y = X*X 具有 Riesz 分布的 X 的分布。
• 应用对称锥上广义伽马函数的对称锥理论，定义 Riesz 分布。
• 使用对角多项式与矩阵变量的超几何函数表达密度函数与特征函数。
• 通过变换 X = μ + Θ^{1/2}ZΣ^{1/2}（其中 Z 服从标准 Kotz-Riesz 形式）建立 Kotz-Riesz 分布的特征函数。
• 采用 Riesz 测度及其推广形式，定义两个版本的 Kotz-Riesz 分布，分别由参数 κ 和 β 索引。
• 应用矩阵 variate 特殊函数的结果，包括广义 Pochhammer 符号与对称锥上的多变量伽马函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 Riesz 测度将 Wishart 分布推广至超越正态假设的设定？
• RQ2 Kotz-Riesz 分布的两个不同版本是什么？它们与 Riesz 分布和 Kotz 分布有何关系？
• RQ3 Kotz-Riesz 分布的特征函数是什么？它如何推广正态与 Wishart 情况？
• RQ4 Kotz-Riesz 分布的矩与分布性质与矩阵 variate 正态分布和 Wishart 分布相比有何异同？
• RQ5 Kotz-Riesz 分布在多变量分析中如何扩展椭圆分布族？

主要发现

• Kotz-Riesz 分布被推导为满足 X*X 服从 Riesz 分布的 X 的分布，推广了 Wishart 分布与矩阵正态分布。
• 正式定义了 Kotz-Riesz 分布的两个版本，其中一者将经典 Kotz 分布推广至矩阵 variate 设定。
• Kotz-Riesz 分布的特征函数以对角多项式与矩阵变量的广义超几何函数表示。
• 特征函数表示为 φ_X(T) = exp(iμT*) × E[etr(iZ(Θ^{1/2}TΣ^{1/2})*)]，其中期望涉及广义伽马函数与对角多项式。
• 该分布被证明属于左椭圆分布族，可直接应用现有关于矩、估计与假设检验的结果。
• 本文证明 Kotz-Riesz 分布推广了矩阵 variate 正态分布与 Wishart 分布，尤其在 β = 1 且特定参数选择下。