[论文解读] Distributions on symmetric cones II: Beta-Riesz distribution

José A. Dı́az-Garcı́a|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2013

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文为实赋范除环引入了beta-Riesz分布，通过将Riesz分布推广至矩阵变量子形式，推广了经典的beta-Wishart分布。推导了类型I和II变体下特征值的显式联合密度函数，包含形状参数和矩阵参数，当形状参数为零时，其特殊情形可恢复标准的beta-Wishart分布定律。

ABSTRACT

This article derives several properties of the Riesz distributions, such as their corresponding Bartlett decompositions, the inverse Riesz distributions and the distribution of the generalised variance for real normed division algebras. In addition, introduce a kind of generalised beta distribution termed beta-Riesz distribution for real normed division algebras. Two versions of this distributions are proposed and some properties are studied.

研究动机与目标

• 将Riesz分布理论推广至实赋范除环的广义beta-Riesz分布。
• 建立两种beta-Riesz分布版本——类型I与类型II，类比经典beta-Wishart分布。
• 利用矩阵变量子技术推导这些分布的特征值联合概率密度函数。
• 证明当形状参数消失时，beta-Riesz分布退化为经典beta-Wishart分布。
• 通过单一代数框架统一实、复、四元数与八元数设置下的多元分布理论。

提出的方法

• 基于对称锥上的Riesz分布，提出两种beta-Riesz分布版本：类型I与类型II。
• 应用Bartlett型分解，推导beta-Riesz分布的特征值联合密度。
• 使用广义beta函数 $\mathcal{B}_{m}^{\beta}[a,\kappa;b,\tau]$ 和Riesz测度定义含矩阵参数的密度函数。
• 推导涉及特征值差积 $\prod_{i<j}(\lambda_i - \lambda_j)^\beta$ 与特征值幂次项的特征值密度公式。
• 引入函数 $Q(\kappa,\tau,\mathbf{L},\mathbf{I}_m - \mathbf{L})$ 与 $Q_1(\kappa,\tau,\mathbf{\Delta},\mathbf{I}_m + \mathbf{\Delta})$ 以建模对特征结构的依赖性。
• 通过将 $\beta$ 替换为 $2\beta$，将结果推广至超复代数（如双复数、双八元数），并推广至 $2^n$-ion（$n=0,1,2,3,4,5$），但仅当 $n \leq 3$ 时为除环。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将beta-Wishart分布推广至实赋范除环的Riesz框架？
• RQ2 所提出的类型I与类型IIbeta-Riesz分布的特征值联合密度函数为何？
• RQ3 形状参数 $\kappa$ 与 $\tau$ 如何影响beta-Riesz密度的结构及其退化为经典情形的过程？
• RQ4 所推导的分布如何统一实、复、四元数与八元数设置下的多元分析？
• RQ5 广义beta函数与Riesz测度在构造这些矩阵变量子分布中起何作用？

主要发现

• 类型I的beta-Riesz分布具有与 $\prod_{i<j}(\lambda_i - \lambda_j)^\beta \prod_{i=1}^m \lambda_i^{a - (m-1)\beta/2 - 1} \prod_{i=1}^m (1 - \lambda_i)^{b - (m-1)\beta/2 - 1} Q(\kappa,\tau,\mathbf{L}, \mathbf{I}_m - \mathbf{L})$ 成比例的联合密度，其中 $0 < \lambda_i < 1$。
• 类型II的beta-Riesz分布具有与 $\prod_{i<j}(\delta_i - \delta_j)^\beta \prod_{i=1}^m \delta_i^{a - (m-1)\beta/2 - 1} \prod_{i=1}^m (1 - \delta_i)^{-(a+b)} Q_1(\kappa,\tau,\mathbf{\Delta}, \mathbf{I}_m + \mathbf{\Delta})$ 成比例的联合密度，其中 $\delta_i > 0$。
• 当 $\kappa = \tau = \mathbf{0}$ 时，两种beta-Riesz分布均退化为经典矩阵多变量beta分布的类型I与II。
• 对于类型II分布，参数 $a$ 与 $b$ 需满足 $\text{Re}(a) > (m-1)\beta/2 + k_1$ 与 $\text{Re}(b) > (m-1)\beta/2 + t_1$，类型I亦有类似约束。
• 通过将 $\beta$ 替换为 $2\beta$，结果可推广至超复代数（如双复数、双八元数），并推广至 $2^n$-ion（$n=0,1,2,3,4,5$），但仅当 $n \leq 3$ 时为除环。
• 密度公式中的参数 $\varrho$ 由引理2.4定义，并参与归一化常数，涉及多变量gamma函数 $\Gamma_m^\beta[m\beta/2]$。