[论文解读] A Generalization of Bernstein-Vazirani Algorithm to Qudit Systems

R Narayanan Krishna, Vishesh Makwana+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文将伯恩斯坦-瓦兹尔尼量子算法推广至d-水平量子系统（qudit系统），以广义离散傅里叶变换（DFT）门替代基于量子比特的 Hadamard 门。通过构建包含隐藏字符串s相位编码的叠加态，再利用基于DFT的傅里叶采样，在单次查询内提取s，实现即使在高维情况下仍保持常数查询复杂度Ω(1)。

ABSTRACT

A quantum algorithm to solve the parity problem is better than its most efficient classical counter- part with a separation that is polynomial in the number of queries. This was shown by E. Bernstein and U. Vazirani and was one of the earliest indications that the quantum information processing can outperform the classical one by a significant margin. The problem and its solution both is usually stated for a 2-level system since we generally work with bits/qubits. However, many works have been done generalizing known quantum computing techniques to higher level systems. Following this, we look at a generalization of the Bernstein-Vazirani algorithm implemented on a general qudit system.

研究动机与目标

• 将伯恩斯坦-瓦兹尔尼算法从量子比特系统（d=2）推广至任意维度d的qudit系统。
• 在Z_d^n上定义广义奇偶性问题，其中隐藏字符串s通过函数f_s(x) = s·x mod d编码。
• 构建一种仅需一次对预言机查询即可识别隐藏字符串s的量子算法，推广指数级量子优势。
• 证明广义量子态|ψ_s⟩ = 1/√(d^n) Σ_x ω^{s·x} |x⟩可通过DFT制备并测量，从而恢复s。
• 建立|ψ_s⟩与|ψ_t⟩在s ≠ t时的正交性，确保通过傅里叶采样可无歧义地区分状态。

提出的方法

• 定义广义预言机f_s: {0,1,...,d−1}^n → {0,1,...,d−1}，其中f_s(x) = s·x mod d，s为未知隐藏字符串。
• 通过将广义DFT门（F^⊗n）作用于|0⟩^⊗n，初始化系统为均匀叠加态|Ψ⟩ = 1/√(d^n) Σ_x |x⟩。
• 使用预言机f_s(x)作为控制，对目标qudit处于|ϕ⟩ = Σ_{j=0}^{d-1} ω^{d-j} |j⟩的态实施受控相位操作，其中ω = e^{2πi/d}。
• 利用将SUM门（模d加法）作用于控制位i时，可产生相位位移ω^i的性质，从而将f_s(x)有效编码为态中的相位。
• 所得态为|Ψ⟩ ⊗ |ϕ⟩，其相位为ω^{s·x}，等价于态|ψ_s⟩ = 1/√(d^n) Σ_x ω^{s·x} |x⟩。
• 对|ψ_s⟩应用逆DFT（F^⊗n），将其映射为|s⟩，从而以单位概率测量出隐藏字符串s。

实验结果

研究问题

• RQ1 伯恩斯坦-瓦兹尔尼算法能否推广至维度d > 2的qudit系统？
• RQ2 广义预言机函数f_s(x) = s·x mod d的结构为何？其如何保持实现量子加速所必需的线性性？
• RQ3 如何仅通过一次对预言机的查询，高效制备量子态|ψ_s⟩ = 1/√(d^n) Σ_x ω^{s·x} |x⟩？
• RQ4 在qudit情况下，|ψ_s⟩与|ψ_t⟩对s ≠ t是否保持正交性？这是否能确保无歧义的状态区分？
• RQ5 广义算法的量子查询复杂度是多少？其是否保持原始量子比特版本的常数复杂度Ω(1)？

主要发现

• 广义伯恩斯坦-瓦兹尔尼算法在qudit系统中实现了Ω(1)的量子查询复杂度，与原始量子比特版本一致。
• 态|ψ_s⟩ = 1/√(d^n) Σ_x ω^{s·x} |x⟩通过一次对预言机f_s的查询及与处于|ϕ⟩态的目标qudit的受控相位操作实现构建。
• 当s ≠ t时，|ψ_s⟩与|ψ_t⟩正交，由⟨ψ_s|ψ_t⟩ = δ_{s,t}可得，确保了完美可区分性。
• 通过逆DFT（F^⊗n）进行傅里叶采样，可将|ψ_s⟩映射为|s⟩，从而在单次查询内精确恢复隐藏字符串s。
• 该算法将基于量子比特的Hadamard变换推广至d维DFT，同时保持了查询复杂度上的量子优势。
• 该构造依赖于代数性质：∑_x ω^{x·(s−t)} = d^n δ_{s,t}，该性质确保了正交性，从而实现无歧义的状态识别。