[论文解读] A generalization of Ramsey theory for stars and one matching

Amir Khamseh, Gholamreza Omidi|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2012

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过确定在 t 条边着色的完全图中保证存在 s 个单色星或一个匹配所需的最少顶点数，将拉姆齐型问题进行推广，运用极值图论和维津定理。关键结果给出了在不同 s 和星大小条件下，涉及星和一个匹配的配置的 d-色拉姆齐数 r_{t-1}^t 的精确公式。

ABSTRACT

A recent question in generalized Ramsey theory is that for fixed positive integers $s\leq t$, at least how many vertices can be covered by the vertices of no more than $s$ monochromatic members of the family $\cal F$ in every edge coloring of $K_n$ with $t$ colors. This is related to {$d$-chromatic Ramsey numbers} introduced by Chung and Liu. In this paper, we first compute these numbers for stars generalizing the well-known result of Burr and Roberts. Then we extend a result of Cockayne and Lorimer to compute $d$-chromatic Ramsey numbers for stars and one matching.

研究动机与目标

• 通过将单色星和匹配的结果推广到 t 种颜色边着色的完全图，推广经典拉姆齐理论。
• 计算包含星和一个匹配的家族的 d-色拉姆齐数 r_{t-1}^t(G_1,…,G_t)，其中 d = t-1。
• 在匹配大小和星大小的不同约束下，建立拉姆齐数的紧致上下界。
• 在广义拉姆齐数的背景下，统一并扩展 Burr、Roberts、Cockayne 和 Lorimer 的先前结果。

提出的方法

• 使用极值图论来限制避免星 K_{1,m_i} 的边数，利用不等式 ex(p, K_{1,m}) ≤ p(m-1)/2。
• 应用基于鸽巢原理的着色论证：如果所有颜色的 (m_i - 1) 之和足够大，则在剩余的 t-1 种颜色中，某一颜色类必须包含一个星。
• 运用维津定理构造子图的 t-1 种颜色边着色，以控制度数并避免单色星。
• 通过顶点集的划分和对边仔细分配颜色，构造 K_n 的显式着色以获得下界。
• 使用归纳法和递归约化，将 r_{t-1}^t 与 r_{t-2}^{t-1} 关联，将问题简化为更小的情形。
• 通过分析 t-1 种颜色并集中的最大匹配，当顶点度数超过阈值时导出矛盾，从而证明所需子图的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 t 种边着色的完全图中，保证在 t-1 种颜色的并集中存在 s 个单色星或一个匹配所需的最少顶点数是多少？
• RQ2 当其中一个图被替换为匹配而非星时，d-色拉姆齐数 r_{t-1}^t(K_{1,m_1},…,K_{1,m_t}) 的行为如何？
• RQ3 在何种条件下，拉姆齐数等于 2s、R_{t-1} 或 (⌈(∑ + s)/(t-1)⌉) + 1？
• RQ4 这些界如何依赖于星的总大小和匹配的大小？
• RQ5 当 d = t-1 且家族包含星和一个匹配时，广义拉姆齐数能否被精确确定？

主要发现

• 当 2s ≥ R_{t-1} 时，t-1 个星和一个匹配的 d-色拉姆齐数 r_{t-1}^t 恰好为 R = R_{t-1}，其中 R_{t-1} 是在 t-1 种颜色中 t-1 个星的拉姆齐数。
• 当 2s < R_{t-1} 且对所有 i 的 (m_i - 1) 之和小于 (2t - 3)s - t + 2 时，拉姆齐数恰好为 2s。
• 当 2s < R_{t-1} 且 ∑ ≥ (2t - 3)s - t + 2 时，拉姆齐数为 R = ⌈(∑ + s)/(t - 1)⌉ + 1。
• 本文根据 s 与星大小的相对大小，对 d = t-1 时 t 种颜色着色的拉姆齐数进行了完整分类。
• 结果推广了已知的星（d=1）结果，并将 Cockayne-Lorimer 定理扩展到 d = t-1 的 t 种颜色着色。
• 通过使用维津定理和顶点划分构造极值着色，证明了上界的紧致性，从而确立了精确值。