[论文解读] Ramsey and Gallai-Ramsey number for wheels

Yaping Mao, Zhao Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文為輪圖的經典與Gallai-Ramsey數建立了緊緻的界，提供了五個頂點輪圖 $W_5$ 的Gallai-Ramsey數的精確值，並對所有 $n \geq 7$ 的輪圖 $W_n$ 提供了一般性的上下界。研究利用Gallai劃分結構與極值圖論，基於Ramsey型論證與完全圖中的色彩劃分，推導出遞歸界。

ABSTRACT

Given a graph $G$ and a positive integer $k$, define the \emph{Gallai-Ramsey number} to be the minimum number of vertices $n$ such that any $k$-edge coloring of $K_n$ contains either a rainbow (all different colored) triangle or a monochromatic copy of $G$. Much like graph Ramsey numbers, Gallai-Ramsey numbers have gained a reputation as being very difficult to compute in general. As yet, still only precious few sharp results are known. In this paper, we obtain bounds on the Gallai-Ramsey number for wheels and the exact value for the wheel on $5$ vertices.

研究动机与目标

• 針對 $n \geq 7$ 的輪圖 $W_n$，確定經典對角Ramsey數 $R(W_n, W_n)$ 的緊緻上下界。
• 計算五個頂點輪圖的精確Gallai-Ramsey數 $gr_k(K_3; W_5)$，解決先前未解的案例。
• 對所有 $n \geq 7$ 一般化 $gr_k(K_3; W_n)$ 的界，建立其關於 $k$ 和 $n$ 的漸近行為。
• 擴展對Gallai-色彩約束下Ramsey型問題的理解，特別是針對如輪圖等稠密圖。
• 應用Gallai劃分的結構結果，控制在邊著色完全圖中單色與彩虹子圖的性質。

提出的方法

• 利用Gallai關於無三角形邊著色的定理，將完全圖分解為最多使用兩種顏色的子部分，形成一個簡化的二色完全圖。
• 定義Gallai-Ramsey數 $gr_k(K_3; H)$ 為最小的 $n$，使得任何 $k$-著色的 $K_n$ 中必然包含一個彩虹三角形或一個 $H$ 的單色副本。
• 應用基於將頂點集劃分為大與小部分的遞歸界技術，其中「大」部分的大小至少為 $\lfloor (n-1)/2 \rfloor$ 或 $\lfloor (n-2)/2 \rfloor$，取決於奇偶性。
• 利用極值圖論技術，根據已知的Ramsey數，限制避免單色 $C_{n-1}$、$P_{n-2}$ 或 $W_n$ 的部分大小。
• 透過比較Gallai劃分中頂點總數與遞歸函數 $N(n, r, s, t)$ 的大小，若界被超越則導出矛盾。
• 分析Gallai劃分中所有可能的 $k$ 種顏色在各部分中的分佈，考慮紅色或藍色出現在前 $r$、中間 $s$ 或最後 $t$ 種顏色的情況。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於所有 $k \geq 1$，$W_5$ 的Gallai-Ramsey數 $gr_k(K_3; W_5)$ 的精確值為何？
• RQ2 當 $n \geq 7$ 時，經典Ramsey數 $R(W_n, W_n)$ 的緊緻上下界為何？
• RQ3 當 $k$ 和 $n$ 變化時，輪圖 $W_n$ 的Gallai-Ramsey數如何漸近變化？
• RQ4 Gallai劃分的結構能否用於推導 $W_5$ 以外的 $gr_k(K_3; W_n)$ 一般界？
• RQ5 輪圖 $W_n$ 的階與其Gallai-Ramsey數在 $k$ 上的增長速率之間有何關係？

主要发现

• 當 $k=1$ 時，$W_5$ 的Gallai-Ramsey數的精確值為 $gr_k(K_3; W_5) = 5$；當 $k$ 為偶數且 $k \geq 2$ 時，為 $14 \cdot 5^{(k-2)/2} + 1$；當 $k \geq 3$ 為奇數時，為 $28 \cdot 5^{(k-3)/2} + 1$。
• 當 $n \geq 7$ 時，經典對角Ramsey數 $R(W_n, W_n)$ 滿足：若 $n$ 為偶數，則 $3n - 3 \leq R(W_n, W_n) \leq 8n - 10$；若 $n$ 為奇數，則 $2n - 2 \leq R(W_n, W_n) \leq 6n - 8$。
• 本文證明 $R(W_5, W_5) = 15$ 且 $R(W_6, W_6) = 17$，確認已知數值，並擴展了輪圖經典Ramsey數的已知範圍。
• 透過對Gallai劃分的案例分析，建立 $gr_k(K_3; W_n)$ 的界，並對大規模部分數量與部分間顏色分佈施加限制。
• 當 $k$ 為偶數時，$W_5$ 的Gallai-Ramsey數以 $\Theta(5^{k/2})$ 的速度增長；當 $k \geq 3$ 為奇數時，以 $\Theta(5^{(k-1)/2})$ 的速度增長，顯示其對 $k$ 的指數依賴性。
• 證明技術依賴於反證法：假設存在最小反例，並透過對避免單色子圖的部分進行遞歸大小估計，顯示頂點總數超過假設界，從而導出矛盾。