[论文解读] A generalization of the double ramification cycle via log-geometry

Jérémy Guéré|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2016

Mathematics and Applications参考文献 24被引用 12

一句话总结

本文引入了主橡胶 $k$-对数 canonical 除子的模空间的对数几何框架，建立了具有完美障碍理论和虚拟基本链的恰当 Deligne-Mumford 堆叠，其虚拟基本链的维数为 $2g-3+n$。在严格亚纯情形（$k=1$）下，虚拟基本类向稳定曲线模空间的推出与加权基本类一致，从而实现了 Pixton 的猜想公式的几何实现。

ABSTRACT

We give a log-geometric description of the space of twisted canonical divisors constructed by Farkas--Pandharipande. In particular, we introduce the notion of a principal rubber $k$-log-canonical divisor, and we study its moduli space. It is a proper Deligne--Mumford stack admitting a perfect obstruction theory whose virtual fundamental cycle is of dimension $2g-3+n$. In the so-called strictly meromorphic case with $k=1$, the moduli space is of the expected dimension and the push-forward of its virtual fundamental cycle to the moduli space of stable curves equals the weighted fundamental class of the moduli space of twisted canonical divisors. Conjecturally, it yields a formula of Pixton generalizing the double ramification cycle in the moduli space of stable curves.

研究动机与目标

• 为稳定曲线模空间中广义双 ramification 循环的 Pixton 猜想公式提供几何实现。
• 利用对数几何定义并研究主橡胶 $k$-对数 canonical 除子的模空间。
• 为该模空间建立完美障碍理论和虚拟基本类，证明其具有预期维数 $2g-3+n$。
• 将虚拟链的推出与扭 canonical 除子的加权基本类关联起来，验证 Farkas–Pandharipande 的猜想。
• 验证在严格亚纯情形（$k=1$）下，虚拟链与基本类一致，支持猜想公式。

提出的方法

• 通过曲线上的对数结构以及到带标记除子 $0$ 和 $\infty$ 的橡胶目标 $\mathbb{P}^1$ 的相对映射，引入主橡胶 $k$-对数 canonical 除子的概念。
• 利用对数几何技术和对偶图上的稳定性条件，通过构造方法将模空间 $\mathcal{D}^{*(k)}$ 建立为恰当的 Deligne-Mumford 堆叠。
• 利用对数层的导出范畴在 $\mathcal{D}^{*(k)}$ 上定义完美障碍理论，从而得到维数为 $2g-3+n$ 的虚拟基本链。
• 通过在预稳定曲线模空间上的根构造，计算单峰的重数，以考虑节点处的接触序。
• 应用稳定化态射 $\mathrm{st}$ 将虚拟链推出至 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$，并将其与塔陶类关联。
• 证明在严格亚纯情形下（$k=1$），虚拟基本类等于基本类，且其推出与加权基本类 $H_g(\vec{\mathbf{m}})$ 一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 log 几何中相对稳定映射的模空间，几何实现 $k$-扭 canonical 除子的广义双 ramification 循环？
• RQ2 主橡胶 $k$-对数 canonical 除子的模空间是否具有维数为 $2g-3+n$ 的完美障碍理论？
• RQ3 在严格亚纯情形下（$k=1$），虚拟基本链向 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的推出是否恢复扭 canonical 除子的加权基本类？
• RQ4 在 $k$-对数 canonical 除子的模空间中，单峰的重数是否由节点处绝对接触序的乘积决定？
• RQ5 在 $k=1$ 情形下，虚拟链的推出是否与 Pixton 的猜想公式一致，至多相差因子 $2^{-g}$？

主要发现

• 主橡胶 $k$-对数 canonical 除子的模空间 $\mathcal{D}^{*(k)}$ 是一个具有完美障碍理论的恰当 Deligne-Mumford 堆叠。
• 模空间 $\mathcal{D}^{*(k)}$ 的虚拟基本链维数为 $2g-3+n$，与预期维数一致。
• 在严格亚纯情形下（$k=1$），虚拟基本类与基本类一致：$[\mathcal{D}^{*(1)}_{\mathrm{pr}}]^\mathrm{vir} = [\mathcal{D}^{*(1)}_{\mathrm{pr}}]$。
• 单峰 $Z_0$ 的基本类向 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的推出为 $\mathrm{st}_*[Z_0] = \prod_{e \in E^*(G_0^{\mathrm{stab}})} |c_e| \cdot [\mathrm{st}(Z_0)]$，其中重数由接触序决定。
• 当 $k=1$ 时，虚拟链的推出满足 $\mathrm{st}_*[\mathcal{D}^{*(1)}_{\mathrm{pr}}] = H_{g,\vec{\mathbf{m}}}$，与 Farkas–Pandharipande 的加权基本类一致。
• 该结果支持猜想 3.21，即 $\mathrm{st}_*[\mathcal{D}^{*(1)}_{\mathrm{pr}}] = 2^{-g}P^g_{g,\vec{\mathbf{m}}}$，并可推广至一般 $k$ 的猜想公式。