[论文解读] Double ramification cycles on the moduli spaces of curves

Felix Janda, Rahul Pandharipande+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 13

一句话总结

本文通过稳定映射到橡胶目标的虚拟基本类，证明了在稳定曲线模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的重子系（tautological ring）中，双全息循环 $\tau_{g}(\mu,\nu)$ 的显式公式。该公式为稳定图上的求和，包含顶点、边和标记的乘积项，证实了 Pixton 于 2014 年提出的猜想，并将 Hain 在 2003 年对紧致类型曲线的结果推广至整个模空间。此外，本文还将上 Chern 类 $\lambda_g$ 表示为支撑在非分离节点除子上的塔洛克类的推出。

ABSTRACT

Curves of genus g which admit a map to CP1 with specified ramification profile mu over 0 and nu over infinity define a double ramification cycle DR_g(mu,nu) on the moduli space of curves. The study of the restrictions of these cycles to the moduli of nonsingular curves is a classical topic. In 2003, Hain calculated the cycles for curves of compact type. We study here double ramification cycles on the moduli space of Deligne-Mumford stable curves. The cycle DR_g(mu,nu) for stable curves is defined via the virtual fundamental class of the moduli of stable maps to rubber. Our main result is the proof of an explicit formula for DR_g(mu,nu) in the tautological ring conjectured by Pixton in 2014. The formula expresses the double ramification cycle as a sum over stable graphs (corresponding to strata classes) with summand equal to a product over markings and edges. The result answers a question of Eliashberg from 2001 and specializes to Hain's formula in the compact type case. When mu and nu are both empty, the formula for double ramification cycles expresses the top Chern class lambda_g of the Hodge bundle of the moduli space of stable genus g curves as a push-forward of tautological classes supported on the divisor of nonseparating nodes. Applications to Hodge integral calculations are given.

研究动机与目标

• 为德利涅-穆尔代姆稳定曲线模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上的双全息循环 $\mathsf{DR}_g(\mu,\nu)$ 提供一个完整且显式的公式。
• 解决 Eliashberg 在 2001 年提出的问题：关于双全息循环在重子系中的结构。
• 验证 Pixton 于 2014 年提出的猜想：$\mathsf{DR}_g(\mu,\nu)$ 可分解为以稳定图为指标的层类，且在顶点、边和标记上具有乘积公式。
• 将 Hain 于 2003 年对紧致类型曲线的结果推广至整个模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$。
• 建立霍奇丛的上 Chern 类 $\lambda_g$ 的新公式，表示为支撑在非分离节点除子上的塔洛克类的推出。

提出的方法

• 双全息循环通过稳定映射到橡胶 $\mathbb{P}^1$-目标的模空间的虚拟基本类来定义。
• 公式构造为稳定图 $\Gamma$ 的求和，每一项为顶点（来自亏格和标记的贡献）、边（来自边权的贡献）和标记（来自分支数据的贡献）的乘积。
• 该方法依赖于 prior work 中建立的 $\mathsf{DR}_g(A)$ 在分支数据 $a_i$ 上的多项式性，将问题约化为在 $p$-进估值上的有限计算。
• 关键技术工具是利用 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上指数和的 $p$-进估值估计，证明某些和可被 $p^b$ 整除（当 $p$ 足够大时），从而推出公式中系数的有理性和整性。
• 证明使用了 $k$-扭转双全息循环及其相关权重条件的结构，以控制虚拟周期的几何。
• 最终公式通过结合虚拟局部化技术与稳定图上的组合分解导出，确保与已知情形（如紧致类型情形）的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在完整模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上，双全息循环 $\mathsf{DR}_g(\mu,\nu)$ 的精确重子系表达式是什么，超越紧致类型的情形？
• RQ2 Pixton 于 2014 年提出的猜想——双全息循环可表示为稳定图上的求和且具有乘积公式——能否被严格证明？
• RQ3 双全息循环在紧致类型情形下如何退化为 Hain 的公式？
• RQ4 上 Chern 类 $\lambda_g$ 能否表示为支撑在非分离节点除子上的塔洛克类的推出？
• RQ5 当 $\mu = \nu = \emptyset$ 时，双全息循环的结构是什么？它与 $R^*(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$ 中的重子系关系有何关联？

主要发现

• 双全息循环 $\mathsf{DR}_g(\mu,\nu)$ 被显式计算为稳定图 $\Gamma$ 的求和，每一项为顶点、边和标记贡献的乘积，从而证实了 Pixton 的猜想。
• 当 $\mu = \nu = \emptyset$ 时，该公式将上 Chern 类 $\lambda_g$ 表示为支撑在 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 中非分离节点除子上的塔洛克类的推出。
• 该公式在紧致类型情形下退化为 Hain 于 2003 年的结果，证实了与已有工作的自洽性。
• 公式中的系数是有理数，且分母为 $p$-整数，其整性通过 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上指数和的 $p$-进估值估计得到证明。
• 双全息循环在分支数据 $a_i$ 上是多项式，如 prior work 所建立，该多项式性被用于控制虚拟周期的结构。
• 该方法为通过双全息循环系统计算霍奇积分提供了框架，从而在重子系交比理论中实现了新的计算。