[论文解读] A generalized c-theorem and the consistency of scale without conformal invariance

Jean-François Fortin, Benjaḿın Grinstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2012

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用 7

一句话总结

本文提出一个广义的c-定理，将a-定理推广至无共形对称性的标度不变量子场论（QFT），证明非零β函数可与共形对称性共存，通过极限环等周期性轨迹实现。研究证明，在四维微扰QFT中，幺正性与标度不变性共同蕴含共形对称性，并通过Jack与Osborn的S函数验证了周期性CFT的一致性：该函数在固定点处为零，且与极限环的生成元Q一致。

ABSTRACT

There is a widely held belief that conformal field theories (CFTs) require zero beta functions. Nevertheless, the work of Jack and Osborn implies that the beta functions are not actually the quantites that decide conformality, but until recently no such behavior had been exhibited. Our recent work has led to the discovery of CFTs with nonzero beta functions, more precisely CFTs that live on recurrent trajectories, e.g., limit cycles, of the beta-function vector field. To demonstrate this we study the S function of Jack and Osborn. We use Weyl consistency conditions to show that it vanishes at fixed points and agrees with the generator Q of limit cycles on them. Moreover, we compute S to third order in perturbation theory, and explicitly verify that it agrees with our previous determinations of Q. A byproduct of our analysis is that, in perturbation theory, unitarity and scale invariance imply conformal invariance in four-dimensional quantum field theories. Finally, we study some properties of these new, cyclic CFTs, and point out that the a-theorem still governs the asymptotic behavior of renormalization-group flows.

研究动机与目标

• 通过构造具有非零β函数的标度不变CFT的显式例子，挑战传统认为共形对称性要求β函数为零的观念。
• 证明Jack与Osborn的S函数在具有极限环行为的理论中可作为一致的c-函数。
• 建立在微扰四维QFT中，幺正性与标度不变性共同蕴含共形对称性。
• 通过Weyl一致性条件与S函数的微扰计算，验证周期性CFT的一致性。

提出的方法

• 将Jack与Osborn框架中的S函数用作标度不变QFT中候选c-函数。
• 应用Weyl一致性条件约束β函数与异常，确保与标度不变性一致。
• 在微扰理论第三阶计算S函数，与极限环的生成元Q进行比较。
• 验证S函数在固定点处为零，并与极限环上的Q一致，确认周期性CFT的存在。
• 分析重整化群流的渐近行为，确认a-定理在周期性区域中的有效性。
• 通过微扰分析确立幺正性与标度不变性在四维QFT中蕴含共形对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 共形对称性是否可在具有非零β函数的量子场论中实现？若可，其条件为何？
• RQ2 Jack与Osborn的S函数是否可在表现出极限环行为的理论中作为有效的c-函数？
• RQ3 在四维QFT中，幺正性与标度不变性在多大程度上蕴含共形对称性？
• RQ4 Weyl一致性条件如何约束具有周期性β函数轨迹的标度不变CFT的结构？
• RQ5 a-定理是否仍适用于表现出周期性行为的重整化群流？

主要发现

• S函数在固定点处为零，且与极限环的生成元Q一致，确认其在周期性CFT中作为c-函数的角色。
• S函数在微扰理论第三阶的计算结果与Q的先前确定结果一致，为极限环CFT的存在提供了明确证据。
• 在四维微扰QFT中，幺正性与标度不变性共同蕴含共形对称性，解决了长期存在的问题。
• 即使在存在周期性轨迹的情况下，a-定理仍控制重整化群流的渐近行为。
• 通过Weyl一致性条件，确认了具有非零β函数的标度不变CFT的一致性。
• 广义c-定理将a-定理扩展至包含周期性、非共形对称性固定点的情形，扩大了其适用范围。