[论文解读] A generalized Kontsevich-Vishik trace for Fourier Integral Operators and the Laurent expansion of $\zeta$-functions

Tobias Hartung, Simon Scott|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过发展规范化的多对数齐次分布理论，为具有奇异振幅的傅里叶积分算子（FIOs）引入了一种广义的康采维奇-维希克迹。利用驻相法近似，计算了此类FIO相关ζ-函数的完整洛朗展开式，并以相位和振幅的形式给出了系数的显式公式。主要贡献在于建立了一套系统化的FIO迹的ζ-正则化框架，将康采维奇-维希克迹推广至临界和奇异情形，包括在波迹和分数阶拉普拉斯算子中的应用。

ABSTRACT

Based on Guillemin's work on gauged Lagrangian distributions, we will introduce the notion of a poly-$\log$-homogeneous distribution as an approach to $\zeta$-functions for a class of Fourier Integral Operators which includes cases of amplitudes with asymptotic expansion $\sum_{k\in\mathbb{N}}a_{m_k}$ where each $a_{m_k}$ is $\log$-homogeneous with degree of homogeneity $m_k$ but violating $\Re(m_k) o-\infty$. We will calculate the Laurent expansion for the $\zeta$-function and give formulae for the coefficients in terms of the phase function and amplitude as well as investigate generalizations to the Kontsevich-Vishik quasi-trace. Using stationary phase approximation, series representations for the Laurent coefficients and values of $\zeta$-functions will be stated explicitly. Additionally, we will introduce an approximation method (mollification) for $\zeta$-functions of Fourier Integral Operators whose symbols have singularities at zero by $\zeta$-functions of Fourier Integral Operators with regular symbols.

研究动机与目标

• 解决康采维奇-维希克迹在具有奇异或对数齐次振幅的傅里叶积分算子上缺乏系统性推广的问题。
• 为振幅具有对数项和非衰减齐次度的FIO发展广义ζ-函数理论。
• 为具有此类FIO的ζ-函数洛朗展开系数提供显式公式。
• 将康采维奇-维希克迹推广至极点不为单极的临界情形，并扩展至具有奇异符号的算子。
• 引入一种光滑化方法，通过正则化版本近似具有奇异振幅的FIO的ζ-函数。

提出的方法

• 将规范化的多对数齐次分布定义为盖伊明规范化的拉格朗日分布的推广，以包含任意实数齐次度的对数齐次项。
• 利用驻相法近似，推导FIO的ζ-函数洛朗系数的级数表示。
• 构建一种光滑化过程，通过用具有光滑符号的FIO逼近在零点具有奇异振幅的FIO，以实现正则化。
• 推导ζ-函数常数项（留数）的显式积分公式，其表达式涉及相位函数、振幅和马斯洛夫因子。
• 将该理论应用于具体例子，包括平坦环面上的波迹和移位分数阶拉普拉斯算子，以验证形式体系的正确性。
• 利用亚纯延拓与留数计算，将ζ-函数值与黎曼ζ函数和赫维茨ζ函数等特殊函数关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有多对数齐次振幅的傅里叶积分算子的ζ-函数洛朗展开具有何种结构？
• RQ2 康采维奇-维希克迹如何推广至振幅中具有奇异或非衰减齐次度的FIO？
• RQ3 ζ-函数中对数项与非单极点的作用是什么？如何系统地处理这些项？
• RQ4 光滑化方法如何实现对具有奇异振幅的FIO的ζ-函数正则化？
• RQ5 移位分数阶拉普拉斯算子的ζ-函数与黎曼ζ函数之间存在何种显式关系？

主要发现

• 对于振幅为∑k∈N amk的傅里叶积分算子，其中每个amk为齐次度为mk的对数齐次项，其ζ-函数的洛朗展开由余切丛上的积分与锥奇点处的留数构成的级数给出。
• 对于算子 s ↦HsHα 在 R/2πZ 上，ζ-函数的常数项为 ζ(s ↦HsHα)(0) = 2ζR(−α)，建立了与黎曼ζ函数的直接联系。
• 对于算子 s ↦HsH−1，ζ-函数在 z=0 处的留数为 −2，与黎曼ζ函数在 s=1 处的已知留数一致。
• 广义康采维奇-维希克迹作为ζ-函数洛朗展开的常数项被恢复，其适用范围扩展至临界和奇异情形。
• 通过光滑化方法，具有奇异振幅的FIO的ζ-函数被其正则化版本的ζ-函数逼近，极限结果一致，验证了方法的有效性。
• 对于移位分数阶拉普拉斯算子 G = h + H 在 R/2πZ 上，算子 s ↦Gs−1 在 z=0 处的ζ-函数留数为 −2，与黎曼ζ函数的留数一致，确认了不同模型间的一致性。