[论文解读] A Generalized Tur\'an Problem and its Applications

Lior Gishboliner, A. Shapira|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文通过为所有固定的 k 和 ℓ 提供在避免 ℓ-圈的 n 个顶点图中 k-圈的最大数量的紧致渐近界，解决了广义 Turán 问题。此外，这些界被进一步应用于构造首个已知的图移除引理，其具有紧致的超多项式界，填补了极值图论中长期存在的上下界差距。

ABSTRACT

The investigation of conditions guaranteeing the appearance of cycles of certain lengths is one of the most well-studied topics in graph theory. In this paper we consider a problem of this type which asks, for fixed integers ${\\ell}$ and $k$, how many copies of the $k$-cycle guarantee the appearance of an $\\ell$-cycle? Extending previous results of Bollob\\'as--Gy\\H{o}ri--Li and Alon--Shikhelman, we fully resolve this problem by giving tight (or nearly tight) bounds for all values of $\\ell$ and $k$. We also present a somewhat surprising application of the above mentioned estimates to the study of the graph removal lemma. Prior to this work, all bounds for removal lemmas were either polynomial or there was a tower-type gap between the best known upper and lower bounds. We fill this gap by showing that for every super-polynomial function $f(\\varepsilon)$, there is a family of graphs ${\\cal F}$, such that the bounds for the ${\\cal F}$ removal lemma are precisely given by $f(\\varepsilon)$. We thus obtain the first examples of removal lemmas with tight super-polynomial bounds. A special case of this result resolves a problem of Alon and the second author, while another special case partially resolves a problem of Goldreich.

研究动机与目标

• 解决广义 Turán 问题，即对所有固定的 k 和 ℓ，确定在不包含 ℓ-圈的 n 个顶点图中 k-圈的最大数量。
• 通过在所有情况下（包括此前未解决的配置）提供 ex(n, C_k, C_ℓ) 的渐近紧致界，扩展先前关于 ex(n, C_k, C_ℓ) 的结果。
• 将这些极值界应用于图移除引理，构造出具有精确指定的超多项式界的具体例子。
• 通过证明每个超多项式函数 f(ε) 都可作为某类 F 在 F-移除引理中的界实现，从而弥合长期以来已知上下界之间的差距。

提出的方法

• 作者使用组合极值论证和含圈图的结构分析，为 ex(n, C_k, C_ℓ) 建立了紧致的渐近界。
• 他们通过概率和计数技术，分析有界度且具有受控公共邻居结构的图中的路径与圈的数量。
• 关键技巧在于根据路径端点是否具有不在路径上的公共邻居，将路径分类为“良好”或“不良”，并通过界定不良路径的数量来推导圈的数量。
• 极值图的构造依赖于禁止偶圈的二分图，随后通过将一个部分中的顶点替换为边，实现生成三角形而不引入禁止圈的变换。
• 证明使用双重计数和度约束来界定路径与圈的数量，尤其关注公共邻居和路径长度的作用。
• 在移除引理的应用中，他们表明 ex(n, C_k, C_ℓ) 的极值界可直接转化为 F-移除引理的紧致界，方法是选择从圈结构导出的适当家族 F。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有固定的 k 和 ℓ（包括 k 和 ℓ 均为奇数，或 k 为偶数而 ℓ 为奇数的情况），ex(n, C_k, C_ℓ) 的精确渐近阶数是多少？
• RQ2 图移除引理的界是否可以对所有超多项式增长率实现紧致化？如果是，此类家族应如何构造？
• RQ3 含圈图的极值界与禁止圈结构之间有何关系，特别是在 C_3 和偶圈 C_{2ℓ} 的情况下？
• RQ4 ex(n, C_k, C_ℓ) 的极值函数与禁止多个偶圈的极值函数之间存在何种精确关系？
• RQ5 广义 Turán 问题是否能在所有参数范围内（包括 C_k 不被包含在 C_ℓ 中的稠密情形）被完全解决并获得紧致界？

主要发现

• 当 k 和 ℓ 不同且 k ≥ 5、ℓ = 4 时，论文建立了紧致的 Θ_k(n^{k/2}) 界；当 ℓ ≥ 6 为偶数且 k ≥ 4，或 k, ℓ 均为奇数且 5 ≤ k < ℓ 时，界为 Θ_k(ℓ^{⌈k/2⌉} n^{⌊k/2⌋})。
• 在稠密情形下，当 k 为偶数而 ℓ 为奇数，或 k 和 ℓ 均为奇数且 k > ℓ 时，ex(n, C_k, C_ℓ) = Θ_k(n^k)，因为 C_ℓ 不被包含在 C_k 的放大图中。
• 论文证明 ex(n, C_3, C_{2ℓ}) 的界介于 Ω(ex(n, {C_4, C_6, ..., C_{2ℓ}})) 与 O_ℓ(ex(n, C_{2ℓ})) 之间，且对 ℓ ∈ {2, 3, 5} 两个界均为紧致。
• 作者构造了一个图族 F，使得 F-移除引理的界恰好匹配任意给定的超多项式函数 f(ε)，从而解决了长期悬而未决的开放问题。
• 该构造首次提供了具有紧致超多项式界的移除引理实例，填补了此前已知上下界之间的差距。
• 该结果解决了 Alon 和 Shapira 提出的问题，并部分回答了 Goldreich 关于存在具有非多项式且精确控制界之移除引理的问题。