[论文解读] A generic finite element framework on parallel tree-based adaptive meshes

Santiago Badia, Alberto F. Martı́n+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 23被引用 20

一句话总结

本论文提出了一种形式化验证的、并行的、基于分布式内存的有限元框架，用于基于树状自适应网格的 h-自适应模拟，采用两层网格表示：轻量级的树状八叉树森林用于网格管理，以及丰富且符合有限元要求的连续网格层。该框架通过严格的数学证明确保了悬空节点约束和并行组装的正确性，实现了高达 32.2K 核心的强可扩展性，并在自适应泊松和麦克斯韦问题上相比 deal.II 实现了 2–3 倍的性能提升。

ABSTRACT

In this work we formally derive and prove the correctness of the algorithms and data structures in a parallel, distributed-memory, generic finite element framework that supports h-adaptivity on computational domains represented as forest-of-trees. The framework is grounded on a rich representation of the adaptive mesh suitable for generic finite elements that is built on top of a low-level, light-weight forest-of-trees data structure handled by a specialized, highly parallel adaptive meshing engine, for which we have identified the requirements it must fulfill to be coupled into our framework. Atop this two-layered mesh representation, we build the rest of data structures required for the numerical integration and assembly of the discrete system of linear equations. We consider algorithms that are suitable for both subassembled and fully-assembled distributed data layouts of linear system matrices. The proposed framework has been implemented within the FEMPAR scientific software library, using p4est as a practical forest-of-octrees demonstrator. A strong scaling study of this implementation when applied to Poisson and Maxwell problems reveals remarkable scalability up to 32.2K CPU cores and 482.2M degrees of freedom. Besides, a comparative performance study of FEMPAR and the state-of-the-art deal.ii finite element software shows at least comparative performance, and at most factor 2-3 improvements in the h-adaptive approximation of a Poisson problem with first- and second-order Lagrangian finite elements, respectively.

研究动机与目标

• 开发一种通用、可扩展且正确的有限元框架，用于基于树状自适应网格的并行 h-自适应模拟。
• 在分布式内存环境中，形式化证明处理悬空节点及其约束的并行算法的正确性。
• 通过两层网格抽象，实现对自适应、非协调网格上线性系统的高效、可扩展组装。
• 通过模块化、可扩展的软件设计，在大规模问题上实现高性能和强可扩展性。
• 为支持多样化的单元拓扑、加密规则和有限元类型提供统一框架的基础。

提出的方法

• 采用两层网格抽象：使用低层轻量级的八叉树森林（通过 p4est 实现）进行网格管理，以及高层连续网格表示用于有限元操作。
• 使用空间填充曲线（SFCs），特别是 Morton 索引，以实现自适应树网格中高效遍历、分区和邻居查找。
• 通过数学命题和证明形式化网格数据结构和算法，以保证悬空节点约束和虚拟单元依赖关系的正确性。
• 设计支持非重叠域分解求解器的子组装和完全组装矩阵布局的数据结构和算法。
• 在 FEMPAR 库中实现该框架，使用 p4est 作为底层的八叉树森林引擎。
• 确保所有悬空自由度上的约束均仅通过单层虚拟单元在本地计算，并通过依赖关系局部性的严格证明进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅使用单层虚拟单元的并行、分布式内存环境中，悬空节点约束在何种条件下可被正确计算？
• RQ2 如何设计一种通用的有限元框架，以支持任意单元拓扑和加密规则，同时确保在基于树状自适应网格上的正确性？
• RQ3 在自适应、非协调网格中，跨处理器边界的约束依赖关系的局部性可提供何种数学保证？
• RQ4 所提出的框架如何实现强可扩展性，并在性能上达到或优于当前最先进的有限元软件（如 deal.II）？
• RQ5 为确保约束依赖关系不超出单层虚拟单元边界，网格加密和平衡规则的必要且充分条件是什么？

主要发现

• 该框架在泊松和麦克斯韦问题上实现了高达 32,200 个 CPU 核心的强可扩展性，最大自由度达 482.2 百万。
• 在 FEMPAR 中的实现表明，对于使用一阶和二阶拉格朗日有限元的 h-自适应求解，性能至少与 deal.II 相当，最高可提升 2–3 倍。
• 数学证明正式确立了：在采用 2:1 k-平衡网格和单层虚拟单元时，悬空节点约束仅依赖于本地可访问的自由度。
• 通过证明在 2:1 k-平衡条件下，约束依赖关系不会超出单层虚拟单元边界，确保了并行组装的正确性。
• 两层网格抽象——将低层网格管理与高层有限元数据结构分离——实现了通用性、正确性与高性能。
• 该方法可扩展至任意多面体单元和加密规则，其理论基础和在 t8code 与 FEMPAR 中的实现已得到验证。