[论文解读] A geometric approach to solve time dependent and dissipative Hamiltonian systems

Manuel de León, Cristina Sardón|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文利用余辛几何与接触几何，分别针对时变与耗散的哈密顿系统，发展了一套几何哈密顿-雅可比理论。推导了两种情形下的显式哈密顿-雅可比方程，并将其应用于温特尼茨-斯莫罗丁斯基振子与阻尼谐振子，其解可通过李代数系统理论与Legendrian子流形条件获得。

ABSTRACT

In this paper, we apply the geometric Hamilton--Jacobi theory to obtain solutions of Hamiltonian systems in Classical Mechanics, that are either compatible with a cosymplectic or a contact structure. As it is well known, the first structure plays a central role in the theory of time-dependent Hamiltonians, whilst the second is here used to treat classical Hamiltonians including dissipation terms. On the other hand, the interest of a geometric Hamilton--Jacobi equation is the primordial observation that a Hamiltonian vector field $X_{H}$ can be projected into the configuration manifold by means of a 1-form $dW$, then the integral curves of the projected vector field $X_{H}^{dW}$can be transformed into integral curves of $X_{H}$ provided that $W$ is a solution of the Hamilton--Jacobi equation. In this way, we use the geometric Hamilton--Jacobi theory to derive solutions of physical systems with a Hamiltonian formulation. A new expression for a geometric Hamilton Jacobi equation is obtained for time dependent Hamiltonians described with the aid of a cosymplectic structure. Then, another expression for the Hamilton Jacobi equation is retrieved for Hamiltonians with frictional terms described through contact geometry. Both approaches shall be applied to physical examples.

研究动机与目标

• 利用余辛几何将几何哈密顿-雅可比理论推广至时变哈密顿系统。
• 利用接触几何为包含摩擦项的耗散系统建立几何哈密顿-雅可比方法。
• 为如温特尼茨-斯莫罗丁斯基振子与阻尼谐振子等物理系统提供显式解。
• 通过哈密顿-雅可比方程的解，建立投影向量场的积分曲线与原始哈密顿流之间的等价性。
• 阐明Legendrian子流形与闭1-形式在构造哈密顿-雅可比方程解中的作用。

提出的方法

• 在余辛流形上通过一形式η与二形式Ω构造动力学，满足η ∧ Ωⁿ为体积形式。
• 在余辛流形上定义哈密顿向量场X_H，并通过一形式dW投影得到投影向量场X_H^dW。
• 通过要求当W满足HJ方程时，X_H^dW的积分曲线可提升为X_H的积分曲线，推导出时变系统的几何哈密顿-雅可比方程。
• 将该理论应用于温特尼茨-斯莫罗丁斯基振子，表明解γ满足一种Milne–Pinney型方程。
• 对于耗散系统，采用接触几何，使用接触形式η与包含摩擦项αS的哈密顿H。
• 构造一个Legendrian截面γ，使得dγ_S = 0，并在局部坐标下导出HJ方程，得到关于γ的一阶偏微分方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用余辛结构将几何哈密顿-雅可比理论推广至时变哈密顿系统？
• RQ2 由接触几何描述的耗散系统的哈密顿-雅可比方程具有何种形式？
• RQ3 哈密顿-雅可比方程的解能否用于重构原始哈密顿向量场的积分曲线？
• RQ4 在接触情形下，Legendrian子流形条件dγ_S = 0如何约束解γ？
• RQ5 阻尼振子与温特尼茨-斯莫罗丁斯基系统的哈密顿-雅可比方程的显式解是什么？

主要发现

• 本文推导出在余辛流形上时变系统的几何哈密顿-雅可比方程，其解γ满足可由李代数系统理论积分的Milne–Pinney方程。
• 对于温特尼茨-斯莫罗丁斯基振子，解γ被显式计算，并表明其依赖于常数c₁与c₂，且形式依判别式c₁² > 2c₂或c₂ > c₁²/2而异。
• 在耗散情形下，哈密顿-雅可比方程被导出为一阶偏微分方程：(p²/2m − V(q) − αS)∂γ/∂S + (p/m)∂γ/∂q + (αp + V′(q)) = 0，条件为dγ_S = 0。
• 阻尼振子的解以反三角函数与对数函数表示，其中p = γ，常数c₁ = αm，c₂ = −m(V(q) − V′(q) + mαS)。
• 该理论表明，当且仅当W满足几何哈密顿-雅可比方程时，投影向量场X_H^γ的积分曲线可提升为X_H的积分曲线。
• 该方法成功应用于具有时变性与耗散性的物理系统，表明几何结构（余辛/接触）为非典型情形下求解HJ方程提供了自然框架。