[论文解读] A Global Theory of Conformal Finsler Geometry

Nabil L. Youssef, S. H. Abed+1 more|ArXiv.org|Oct 1, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文通过推导在共形变换 $\widetilde{L} = e^{\sigma(x)}L$ 下，几何对象——Cartan、Berwald 和 Barthel 联络及其曲率张量——之间的显式、坐标无关表达式，建立了一个共形 Finsler 几何的全局理论。关键贡献在于构建了一个全面且全局一致的框架，调和了拉回形式与 Klein-Grifone 形式，从而得出新的共形不变量和 $\sigma$-不变量，且局部结果可恢复 Hashiguchi 与 Matsumoto 的经典公式。

ABSTRACT

The aim of the present paper is to establish a global theory of conformal changes in Finsler geometry. Under this change, we obtain the relationships between the most important geometric objects associated to $(M,L)$ and the corresponding objects associated to $(M, ilde{L})$, $\widetilde{L}=e^{σ(x)} L$ being the Finsler conformal transformation. We have found explicit global expressions relating the two associated Cartan connections $ abla$ and $\widetilde{ abla}$, the two associated Berwald connections $D$ and $\widetilde{D}$ and the two associated Barthel connections $Γ$ and $\widetildeΓ$. The relationships between the corresponding curvature tensors have been also found. The relations thus obtained lead in turn to several interesting results. Among the results obtained, is a characterization of conformal changes, a characterization of homotheties, some conformal invariants and conformal $σ$-invariants. In addition, several useful identities have been found. Our global theory of conformal Finsler geometry is established within the Pull-back approach, making simultaneous use of the Klein-Grifone approach. This has been done via certain links we have found between both approaches (This shows that these two approaches to global Finsler geometry are not alternatives but rather complementary). Although our treatment is entirely global, the local expressions of the obtained results, when calculated, coincide with the existing classical local results.

研究动机与目标

• 开发一个共形 Finsler 几何中变换的全局、内在理论，克服现有局部处理的局限性。
• 推导在共形变换下基本几何对象——Cartan、Berwald 和 Barthel 联络——的显式全局表达式。
• 建立共形相关 Finsler 结构之间曲率张量的关系。
• 识别新的共形不变量和 $\sigma$-不变量，为共形变换与位似变换提供几何表征。
• 通过新的关联结构统一拉回与 Klein-Grifone 形式，实现更稳健的全局分析。

提出的方法

• 作者以拉回形式为基本框架，同时利用 Klein-Grifone 形式推导关键关系，特别是 Cartan 联络的相关关系。
• 通过 $\widetilde{L} = e^{\sigma(x)}L$ 定义共形变换，其中 $\sigma \in \mathfrak{F}(M)$，并推导所有关键联络与曲率张量的变换律。
• 规范喷射的变换被导出为 $\tilde{G}^h = G^h - B^h$，其中 $B^h = (E g^{hj} - y^h y^j) \sigma_j$，将变化与共形因子 $\sigma$ 联系起来。
• Barthel 联络的变换为 $\tilde{G}^h_j = G^h_j - B^h_j$，其中 $B^h_j$ 涉及 $B^h$ 的方向导数及 Finsler 度量的 Christoffel 符号。
• 曲率张量通过显式修正项变换：$\tilde{\Re}^h_{ij} = \Re^h_{ij} + H^h_{ij}$，$\tilde{R}^h_{kij} = R^h_{kij} + H^h_{kij}$，和 $\tilde{P}^h_{kij} = P^h_{kij} - V^h_{kij}$，其中 $H^h_{kij}$、$V^h_{kij}$ 和 $H^h_{ij}$ 以 $B^h_j$ 及其协变导数表示。
• Berwald 联络及其曲率通过水平协变导数推导，$\tilde{G}^h_{ij} = G^h_{ij} - \Psi^h_{ij}$，其中 $\Psi^h_{ij} = \dot{\partial}_j B^h_i$，曲率修正项涉及 $\dot{\partial}_j B^h_{ki}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Finsler 几何中，共形变换 $\widetilde{L} = e^{\sigma(x)}L$ 下，Cartan、Berwald 和 Barthel 联络如何实现全局变换？
• RQ2 共形相关的 Finsler 结构的曲率张量的显式全局表达式是什么？
• RQ3 能否识别出共形不变量和 $\sigma$-不变量？它们表征什么？
• RQ4 如何调和拉回与 Klein-Grifone 形式，以建立共形 Finsler 几何的一致全局理论？
• RQ5 在共形变换下，测地线与 Jacobi 场的全局行为如何？

主要发现

• Cartan 联络变换为 $\tilde{C}^h_{ij} = C^h_{ij}$，而相应的联络系数满足 $\tilde{\Gamma}^h_{ij} = \Gamma^h_{ij} - U^h_{ij}$，其中 $U^h_{ij}$ 显式地以 $\sigma_j$、$\sigma^h$ 和 $C^h_{ij}$ 表示。
• Barthel 曲率变换为 $\tilde{\Re}^h_{ij} = \Re^h_{ij} + H^h_{ij}$，其中 $H^h_{ij} = -\mathfrak{U}_{ij}\{ B^h_{i|j} + (B^h_{im} - P^h_{im}) B^m_j \}$，且 $P^h_{im} = C^h_{im|o}$。
• Cartan 曲率张量 $\tilde{S}^h_{kij} = S^h_{kij}$ 在共形变换下保持不变，表明其具有基本的几何稳定性。
• Berwald 曲率张量 $\tilde{P}^{*h}_{\ \,kij} = P^{*h}_{\ \,kij} - V^{*h}_{\ \,kij}$，其中 $V^{*h}_{\ \,kij} = \dot{\partial}_j B^h_{ki}$，表明 Berwald 联络的曲率对共形因子的导数敏感。
• Berwald 联络的变换为 $\tilde{G}^h_{ij} = G^h_{ij} - \Psi^h_{ij}$，其中 $\Psi^h_{ij} = \dot{\partial}_j B^h_i$，将变化与喷射修正的方向导数联系起来。
• 全局框架在局部计算下可重现 Hashiguchi 与 Matsumoto 的经典局部结果，验证了所推导表达式的全局一致性。