[论文解读] A global Torelli theorem for hyperkahler manifolds

Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 42被引用 86

一句话总结

本文通过计算其映射类群与 $SO(3,b_2-3)$ 中的一个算术格在共轭意义下的关系，建立了超凯勒流形的全局 Torelli 定理，并证明了周期映射在双有理 Teichmüller 空间与周期空间 $SO(b_2-3,3)/SO(2) imes SO(b_2-3,1)$ 的连通分支之间诱导出一个同构，从而得出模空间可作为周期空间关于算术群的商空间的描述。

ABSTRACT

A mapping class group of an oriented manifold is a quotient of its diffeomorphism group by the isotopies. We compute a mapping class group of a hypekahler manifold $M$, showing that it is commensurable to an arithmetic subgroup in SO(3, b_2-3). A Teichmuller space of $M$ is a space of complex structures on $M$ up to isotopies. We define a birational Teichmuller space by identifying certain points corresponding to bimeromorphically equivalent manifolds, and show that the period map gives an isomorphism of the birational Teichmuller space and the corresponding period space $SO(b_2-3, 3)/SO(2) imes SO(b_2 -3, 1)$. We use this result to obtain a Torelli theorem identifying any connected component of birational moduli space with a quotient of a period space by an arithmetic subgroup. When $M$ is a Hilbert scheme of $n$ points on a K3 surface, with $n-1$ a prime power, our Torelli theorem implies the usual Hodge-theoretic birational Torelli theorem (for other examples of hyperkahler manifolds the Hodge-theoretic Torelli theorem is known to be false).

研究动机与目标

• 计算超凯勒流形的映射类群，并证明其与 $SO(3,b_2-3)$ 中算术格共轭。
• 通过识别双有理等价的复结构，定义双有理 Teichmüller 空间。
• 通过周期映射，在双有理 Teichmüller 空间的连通分支与周期空间 $SO(b_2-3,3)/SO(2)\times SO(b_2-3,1)$ 之间建立同构。
• 证明一个全局 Torelli 型定理，将双有理模空间识别为周期空间关于算术群的商空间。
• 在 $n-1$ 为素数幂时，恢复 $K3^{[n]}$ 的霍奇理论双有理 Torelli 定理，而该结论在其他超凯勒流形中通常不成立。

提出的方法

• 将映射类群定义为微分同胚群关于同伦的商群，并利用 $H^2(M,\mathbb{Z})$ 上的 Beauville-Bogomolov-Fujiki (BBF) 型式计算其结构。
• 将 Teichmüller 空间定义为 $M$ 上复结构在同伦下的等价类空间，并通过识别双有理等价的点，将其精化为双有理 Teichmüller 空间。
• 使用周期映射，将一个复结构发送到 $\mathbb{P}(H^2(M,\mathbb{C}))$ 中的直线 $[\Omega]$，并证明其在双有理 Teichmüller 空间连通分支与周期域 $SO(b_2-3,3)/SO(2)\times SO(b_2-3,1)$ 之间诱导出同构。
• 通过子扭量范数在周期空间上构造一个子扭量度量 $d_{tw}$，并证明度量空间 $(\operatorname{\mathbb{P}er}, d_{tw})$ 同胚于商空间 $G/G_x$，其中 $G$ 是 $SO(H^2(M,\mathbb{R}),q)$ 的单位连通分支。
• 应用 Gleason-Palais 定理，证明配备子扭量度量的群 $G$ 是一个拓扑流形，从而确保周期空间继承了流形结构。
• 利用 $K3^{[n]}$ 的单值群和 GHK 直线的结构，分析 $K3$ 曲面点的 Hilbert 模空间情形下的全局 Torelli 性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 超凯勒流形的映射类群结构是什么？它与算术格有何关系？
• RQ2 如何对复结构的 Teichmüller 空间进行精化以考虑双有理等价性？其结果的几何结构如何？
• RQ3 周期映射是否在双有理 Teichmüller 空间与类型为 $SO(b_2-3,3)/SO(2)\times SO(b_2-3,1)$ 的对称空间之间诱导出同构？
• RQ4 能否通过将双有理模空间实现为周期空间关于算术群的商空间，从而为超凯勒流形建立全局 Torelli 定理？
• RQ5 当 $n-1$ 为素数幂时，$K3^{[n]}$ 的霍奇理论 Torelli 定理是否成立？其如何从全局 Torelli 结果推出？

主要发现

• 超凯勒流形的映射类群与 $SO(3,b_2-3)$ 中的算术格共轭，为其对称性提供了精确的代数描述。
• 周期映射在双有理 Teichmüller 空间每个连通分支与对称空间 $SO(b_2-3,3)/SO(2)\times SO(b_2-3,1)$ 之间诱导出同构，建立了全局 Torelli 型对应关系。
• 超凯勒流形的双有理模空间同胚于周期空间关于算术群的商空间，从而给出了全局模空间描述。
• 当 $n-1$ 为素数幂时，全局 Torelli 定理蕴含了 $K3^{[n]}$ 的霍奇理论双有理 Torelli 定理，而该结论在其他超凯勒流形中通常不成立。
• 配备子扭量度 $d_{tw}$ 的周期空间 $\operatorname{\mathbb{P}er}$ 同胚于 $G/G_x$，其中 $G$ 是 $SO(H^2(M,\mathbb{R}),q)$ 的单位连通分支，且根据 Gleason-Palais 定理，该空间为拓扑流形。
• 子扭量度的构造及其在证明周期空间流形结构中的应用，依赖于映射类群的双-Lipschitz 作用以及紧致子集的有限覆盖维数。