[论文解读] A group induced four-circulant construction for self-dual codes and new extremal binary self-dual codes

Joe Gildea, Abidin Kaya+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在群环上基于群诱导的四循环构造方法，用于生成极值和最优的二元自偶码。通过利用阶为3、7、9、13和15的群在 $φ_2$、$φ_2 + uφ_2$ 和 $φ_4 + uφ_4$ 上的群环，作者构造了5个新的 $[56,28,10]$ 码，23个具有不同权重枚举式的极值 $[68,34,14]$ 码，以及15个新的 $[80,40,14]$ 码，显著扩展了已知的极值自偶码集合。

ABSTRACT

We introduce an altered version of the four circulant construction over group rings for self-dual codes. We consider this construction over the binary field, the rings F_2 + uF_2 and F_4 + uF_4; using groups of order 3, 7, 9, 13, and 15. Through these constructions and their extensions, we find binary self-dual codes of lengths 32, 40, 56, 64, 68 and 80, all of which are extremal or optimal. In particular, we find five new self-dual codes of parameters [56, 28, 10], twenty-three extremal binary self-dual codes of length 68 with new weight enumerators and fifteen new self-dual codes of parameters [80, 40, 14].

研究动机与目标

• 开发一种利用群环和修改的四循环矩阵构造自偶码的新代数方法。
• 通过用特征为2的环上由群环生成的矩阵替代循环矩阵，扩展现有的四循环构造方法。
• 发现长度为32、40、56、64、68和80的新极值和最优二元自偶码。
• 建立群环中单位与非单位与所得码的自偶性之间的理论联系。
• 通过使用MAGMA进行计算枚举，证明该构造方法的有效性。

提出的方法

• 该构造使用形式为 $[I_{2n} \mid \begin{smallmatrix} A & B \\ B^T & A^T \end{smallmatrix}]$ 的生成矩阵，其中 $A$ 和 $B$ 是从 $\mathbb{F}_2$、$\mathbb{F}_2 + u\mathbb{F}_2$ 和 $\mathbb{F}_4 + u\mathbb{F}_4$ 上的群环元素导出的矩阵。
• 该方法应用阶为3、7、9、13和15的群环，生成非必须为循环的结构化矩阵，从而实现新的码构造。
• 通过验证矩阵在特征为2的环上满足条件 $AA^T + BB^T = -I_n$ 来确保自偶性，其中符号根据情况相应调整。
• 通过邻近法扩展构造，从已有码生成额外的自偶码，尤其适用于长度68的码。
• 使用MAGMA代数系统进行计算验证，以生成并测试码的自偶性和极值性。
• 计算并比较权重枚举式，与已知列表进行比对，以确认其新颖性，特别是针对长度68和80的码。

实验结果

研究问题

• RQ1 在群环上对四循环构造进行修改，能否产生新的极值二元自偶码？
• RQ2 群环中的单位与非单位在生成自偶码中起什么作用？
• RQ3 不同的群环和群阶如何影响所得自偶码的结构与参数？
• RQ4 邻近构造方法能否从新家族中的已有码生成新的极值码？
• RQ5 所构造码的权重枚举式的新颖性程度如何，特别是针对长度68和80的码？

主要发现

• 作者构造了5个新的极值二元自偶码，参数为 $[56,28,10]$，其权重枚举式在 $W_{56,1}$ 中互不相同。
• 发现了23个新的长度为68的极值二元自偶码，其权重枚举式位于 $W_{68,2}$ 中，参数为 $(\gamma=3, \beta \in \{165,169,171,173\})$，$(\gamma=4, \beta \in \{163,165,173,177,179,181,183,185,187,188,189,190,192,193,204,208,210,214\})$，以及 $(\gamma=5, \beta=201)$。
• 构造了15个新的长度为80的极值二元自偶码，参数为 $[80,40,14]$，其权重枚举式位于 $W_{80,2}$ 中，$\beta=1$ 且 $\alpha \in \{-96,-150,-168,-186,-204,-222,-240,-258,-312\}$，以及 $\beta=10$ 且 $\alpha \in \{-204,-276,-294,-330,-348,-366\}$。
• 该构造在多个长度上成功生成了新码——32、40、56、64、68和80——其中许多为极值或最优码。
• 邻近构造方法额外生成了17个新的长度为68的码，全部具有阶为2的自同构群和不同的权重枚举式。
• 该研究证实，基于群环的构造方法，尤其是使用非循环矩阵时，是发现新极值自偶码的强大且富有成效的途径。