[论文解读] A Hamiltonian $\coprod\limits_n BO(n)$-action, stratified Morse theory and the $J$-homomorphism

Xin Jin|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文通过谱层构造对余切丛的极限 ℝᴺ 上的 Hamiltonian ∐ₙBO(n)-作用进行量子化，利用谱层实现该作用的量子化，并通过 J-同调映射将分层 Morse 理论加以丰富。证明了精确 Lagrangrian 子流形上 brane 结构的分类映射通过稳定 Gauss 映射与 J-同调映射的延拓因子分解，借助 (∞,2)-范畴中的高阶范畴结构，解决了 [JiTr] 中的一项断言。

ABSTRACT

We use sheaves of spectra to quantize a Hamiltonian $\coprod\limits_n BO(n)$-action on $\varinjlim\limits_{N}T^*\mathbf{R}^N$ that naturally arises from Bott periodicity. We employ the category of correspondences developed in [GaRo] to give an enrichment of stratified Morse theory by the $J$-homomorphism. This provides a key step in the following work [Jin] on the proof of a claim in [JiTr]: the classifying map of the local system of brane structures on an (immersed) exact Lagrangian submanifold $L\subset T^*\mathbf{R}^N$ is given by the composition of the stable Gauss map $L ightarrow U/O$ and the delooping of the $J$-homomorphism $U/O ightarrow B\mathrm{Pic}(\mathbf{S})$. We put special emphasis on the functoriality and (symmetric) monoidal structures of the categories involved, and as a byproduct, we produce several concrete constructions of (commutative) algebra/module objects and (right-lax) morphisms between them in the (symmetric) monoidal $(\infty, 2)$-category of correspondences, generalizing the construction out of Segal objects in [GaRo], which might be of interest by its own.

研究动机与目标

• 证明 [JiTr] 中的断言：精确 Lagrangrian 子流形上 brane 结构层的分类映射通过稳定 Gauss 映射与 J-同调映射的延拓因子分解。
• 通过在 limₙT*ℝⁿ 上构造一个量子化的 Hamiltonian ∐ₙBO(n)-作用，将 J-同调映射引入分层 Morse 理论。
• 在对应关系的对称单幕 (∞,2)-范畴中，发展 (交换) 代数与模对象的显式构造，推广 Segal 对象的构造方法。
• 为对应关系上的谱层建立函子性与单幕框架，实现具有拓扑不变量的几何作用的量子化。

提出的方法

• 使用谱层对 limₙT*ℝⁿ 上由 Bott 周期性导出的 Hamiltonian ∐ₙBO(n)-作用进行量子化。
• 采用 [GaRo] 中的对应关系范畴来建模高阶范畴结构，并构造对称单幕函子。
• 通过局部系统范畴的稳定化，在 Corr(S_LCH) 上纤维化构造代数对象上的模对象。
• 应用 Morse 变换与局部化技术，关联不同层之间的谱层范畴，并稳定化至 J-同调映射。
• 在 ShvSp 上利用右- lax 对称单幕结构，以在对应关系间保持代数与模对象数据。
• 通过极限过程与自然同构，确保在辅助数据（如 A_S）选择下的构造兼容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过谱层对 limₙT*ℝⁿ 上的 Hamiltonian ∐ₙBO(n)-作用进行量子化？
• RQ2 J-同调映射在精确 Lagrangrian 子流形上 brane 结构分类中起何种精确作用？
• RQ3 对应关系范畴及其对称单幕结构如何促进 (∞,2)-范畴中代数与模对象的构造？
• RQ4 能否通过几何作用的量子化，利用 J-同调映射增强分层 Morse 理论？
• RQ5 brance 结构层的分类映射通过 U/O 与 BJ 的因子分解是什么？其证明方法为何？

主要发现

• 精确 Lagrangrian 子流形 L ⊂ T*ℝᴺ 上 brane 结构层的分类映射因子分解为 L → U/O → BPic(𝕊)，其中第二映射为 J-同调映射的延拓。
• 对 Hamiltonian ∐ₙBO(n)-作用的量子化产生了一个在对应关系的 (∞,2)-范畴中关于代数对象 VGₙ• 的模对象。
• 对 Gₙ、VGₙ 与  Q̂ₙ,ₘ 的局部系统范畴的稳定化产生了一个良定义的极限，该极限编码了 J-同调映射。
• 对应关系上的函子 ShvSp_all,all^prop 具有右-lax 对称单幕结构，从而能够一致地将谱分配给几何数据。
• 在 Corr(S_LCH) 中构造代数与模对象的方法推广了 Segal 对象构造，并在高阶范畴理论中提供了新例子。
• Morse 变换与稳定化的兼容性确保了 J-同调映射自然地从几何量子化过程中产生。