[论文解读] A Hitchin-Kobayashi correspondence for Kaehler fibrations

Ignasi Mundet i Riera|ArXiv.org|Jan 19, 1999

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用 32

一句话总结

本文通過證明在穩定性條件下（具體而言為 $c$-穩定性）方程 $\Lambda F_A + \mu(\Phi) = c$ 的解存在，將 Hitchin-Kobayashi 對應推廣至凱勒纖化叢，從而將 Kempf-Ness 理論推廣至非投影凱勒流形。該對應關係將幾何不變量理論的穩定性與涉及聯絡與希格斯場的規範理論方程的解的存在性聯繫起來。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact Kaehler manifold and $E o X$ a principal $K$ bundle, where $K$ is a compact connected Lie group. Let ${\cal A}^{1,1}$ be the set of connections on $E$ whose curvature lies in $Ω^{1,1}(E imes_{Ad} {\frak k})$, where ${\frak k}$ is the Lie algebra of $K$. Endow $\frak k$ with a nondegenerate biinvariant bilinear pairing. This allows to identify $\{\frak k}\simeq{\frak k}^*$. Let $F$ be a Kaehler left $K$-manifold and suppose that there exists a moment map $μ$ for the action of $K$ on $F$. Let ${\cal S}=Γ(E imes_K F)$. In this paper we study the equation $$ΛF_A+μ(Φ)=c$$ for $A\in {\cal A}^{1,1}$ and a section $Φ\in {\cal S}$, where $c\in{\frak k}$ is a fixed central element. We study which orbits of the action of the complex gauge group on ${cal A}^{1,1} imes{\cal S}$ contain solutions of the equation, and we define a positive functional on ${cal A}^{1,1} imes{\cal S}$ which generalises the Yang-Mills-Higgs functional and whose local minima coincide with the solutions of the equation.

研究动机与目标

• 將 Hitchin-Kobayashi 對應推廣至結構群為 $K$、纖為具有哈密頓 $K$-作用的凱勒流形 $F$ 的凱勒纖化叢。
• 定義配對 $(A, \Phi)$ 的 $c$-穩定性，其中 $A$ 為聯絡，$\Phi$ 為截面，並推廣 Mumford 的 GIT 穩定性。
• 在聯絡與截面的空間上構造一個正泛函，其推廣了楊-米爾斯-希格斯泛函，且其極小值對應於方程的解。
• 建立 $c$-穩定性與方程 $\Lambda F_A + \mu(\Phi) = c$ 的規範等價解的存在性之間的對應關係。

提出的方法

• 定義 $K$-主叢 $E \to X$ 上曲率屬於 $\Omega^{1,1}(E \times_{\operatorname{Ad}} \mathfrak{k})$ 的聯絡空間 $\mathcal{A}^{1,1}$，確保關聯 $G$-叢具有可積的全純結構。
• 利用 $\mathfrak{k}$ 上的非退化雙 invariant 配對，識別 $\mathfrak{k} \simeq \mathfrak{k}^*$，使纖值扭量映射 $\mu: F \to \mathfrak{k}^*$ 可沿纖纏綁方式拉回到 $\mathcal{S} = \Gamma(E \times_K F)$。
• 研究 $A \in \mathcal{A}^{1,1}$，$\Phi \in \mathcal{S}$，且固定中心元素 $c \in \mathfrak{k}$ 時的方程 $\Lambda F_A + \mu(\Phi) = c$，其中 $\Lambda$ 為與凱勒形式楔乘的伴隨算子。
• 定義配對 $(A, \Phi)$ 的簡潔性與 $c$-穩定性，其中 $c$-穩定性在濾子情形下涉及子層上的加權不等式。
• 在 $\mathcal{A}^{1,1} \times \mathcal{S}$ 上構造一個泛函，其推廣了楊-米爾斯-希格斯泛函，且其局部極小值與方程的解完全一致。
• 證明 $\mathcal{G}_G$-軌道包含解當且僅當該配對為 $c$-穩定，且此類解在 $\mathcal{G}_K$-規範變換下唯一。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，配對 $(A, \Phi)$ 可透過規範變換轉化為 $\Lambda F_A + \mu(\Phi) = c$ 的解？
• RQ2 如何將穩定性概念從投影流形（透過 GIT）推廣至具有哈密頓群作用的任意凱勒流形？
• RQ3 配對 $(A, \Phi)$ 的分析穩定性與扭量映射方程解的存在性之間的精確關係為何？
• RQ4 推廣的楊-米爾斯-希格斯泛函與方程 $\Lambda F_A + \mu(\Phi) = c$ 的解之間的關係為何？
• RQ5 在此對應關係下，濾子的波戈莫洛夫不等式形式為何？

主要发现

• 配對 $(A, \Phi)$ 為 $c$-穩定當且僅當其可透過規範變換轉化為 $\Lambda F_A + \mu(\Phi) = c$ 的解，從而確立完整的 Hitchin-Kobayashi 對應。
• $\mathcal{A}^{1,1} \times \mathcal{S}$ 上推廣的楊-米爾斯-希格斯泛函的局部極小值恰好位於方程的解處。
• 對於濾子 $0 \subset V_1 \subset \cdots \subset V_s \subset V$，方程變為 $\Lambda F_A - i\sum \tau_k \pi^{h}_{V^k} = -ic\operatorname{Id}$，其中 $c = \frac{\deg(V) + \sum \tau_k \operatorname{rk}(V_k)}{R}$。
• 濾子的穩定性條件為 $\frac{\deg(V^1) + \sum \tau_k \operatorname{rk}(V_k \cap V^1)}{\operatorname{rk}(V^1)} < \frac{\deg(V) + \sum \tau_k \operatorname{rk}(V_k)}{R}$，對任意非零真反射子層 $V^1 \subset V$ 成立。
• 波戈莫洛夫不等式成立：$\deg(V)\left(\frac{\deg(V)+\sum\tau_k\operatorname{rk}(V_k)}{R}\right) - \sum \tau_k \deg(V_k) - 4\pi^2\langle ch_2(V) \cup \omega^{[n-2]}, [X] \rangle \geq 0$ 對 $c$-穩定配對成立。
• 對應關係在 $\mathcal{G}_K$-規範變換下唯一：每個 $\mathcal{G}_G$-軌道至多包含一個 $\mathcal{G}_K$-軌道的解。