[论文解读] A Homotopy Theory of Orbispaces

Weimin Chen Chen|ArXiv.org|Feb 2, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 32被引用 29

一句话总结

本文通过定义它们之间的态射并利用基于环路空间构造同伦群，为具有局部群作用的广义空间——轨道空间（orbispaces）——建立了同伦理论。它将轨道流形的自由环路空间定义为预希尔伯特轨道空间，推广了弦理论中的扭扇（twisted sectors），并通过新框架将特鲁斯通（Thurston）的基本群构造进一步完善，以实现对弦论不变量的精炼。

ABSTRACT

In 1985, physicists Dixon, Harvey, Vafa and Witten studied string theories on Calabi-Yau orbifolds (cf. [DHVW]). An interesting discovery in their paper was the prediction that a certain physicist's Euler number of the orbifold must be equal to the Euler number of any of its crepant resolutions. This was soon related to the so called McKay correspondence in mathematics (cf. [McK]). Later developments include stringy Hodge numbers (cf. [Z], [BD]), mirror symmetry of Calabi-Yau orbifolds (cf. [Ro]), and most recently the Gromov-Witten invariants of symplectic orbifolds (cf. [CR1-2]). One common feature of these studies is that certain contributions from singularities, which are called ``twisted sectors'' in physics, have to be properly incorporated. This is called the ``stringy aspect'' of an orbifold (cf. [R]). This paper makes an effort to understand the stringy aspect of orbifolds in the realm of ``traditional mathematics''.

研究动机与目标

• 将轨道空间的范畴形式化为等变拓扑的自然延伸，在全局同伦框架中捕捉局部群作用。
• 发展轨道空间的同伦理论，推广经典构造如相对同伦群、覆盖空间与纤维丛。
• 通过定义具有预希尔伯特轨道空间结构的自由环路空间，为轨道流形的‘弦论方面’——扭扇与欧拉示性数——提供数学基础。
• 在拓扑框架内统一并精炼物理（如弦理论中扭边界条件）与几何（如 McKay 对应）的早期概念。

提出的方法

• 将轨道空间定义为配备相容局部 G-空间结构系统的局部连通拓扑空间，推广 Satake 的 V-流形。
• 将轨道空间之间的态射定义为相容局部等变映射的等价类，形成定义良好的范畴。
• 通过轨道空间的基于环路空间构造同伦群，推广拓扑空间的环路空间构造。
• 将轨道流形的自由环路空间定义为从 S¹ 到轨道空间的所有光滑态射的集合，并赋予其自然的预希尔伯特轨道空间结构。
• 利用连续过渡映射与局部平凡化，关联不同图册中的环路数据，确保在同伦下的一致性。
• 通过分析重叠图册间的一致过渡数据与环路系统，建立轨道空间的塞弗特–范坎彭型定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地构建轨道空间的同伦理论，以扩展经典同伦不变量（如相对同伦群与纤维丛）？
• RQ2 在卡拉比–丘轨道流形上的弦理论中，‘扭扇’的精确拓扑意义是什么？如何在几何拓扑设定中形式化它？
• RQ3 轨道流形的自由环路空间如何推广物理学中使用的扭环路空间概念？它携带何种结构？
• RQ4 能否以一种能捕捉弦论欧拉示性数并关联 McKay 对应的方式，对轨道流形的基本群进行精炼？
• RQ5 局部群作用与过渡数据在环路空间及其同伦类的构造中如何相互作用？

主要发现

• 通过基于环路空间构造的轨道空间同伦群，自然同构于相应 G-空间的 Borel 构造的同伦群。
• 轨道流形的自由环路空间自然赋予预希尔伯特轨道空间结构，推广了弦理论中使用的扭环路空间。
• 通过分析具有一致过渡映射的重叠图册间的环路系统，确立了轨道空间的塞弗特–范坎彭定理。
• 该构造确保了将同伦类分配给群 H 中元素（通过 ρ）是良定义的，且与图册无关，且 ρ-像的乘积在 H 中等于 1。
• 该框架为弦论欧拉示性数提供了拓扑解释，将其与基本群胚中 ρ-像乘积的消失性联系起来。
• 本文通过整合全局环路数据与过渡结构，精炼了 Thurston 对轨道流形基本群的定义，从而深化了对轨道流形不变量的理解。