[论文解读] Orbifold Quantum Cohomology

Weimin Chen Chen, Yongbin Ruan|ArXiv.org|May 19, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 36

一句话总结

本文引入了轨道丛量子上同调作为辛或射影轨道丛上格罗莫夫-威滕不变量的数学框架，通过扭扇区和虚拟基本链定义轨道丛格罗莫夫-威滕不变量。关键贡献是构造了一个满足量子上同调公理的轨道丛上杯积，将威滕-阮的公理由经典情形推广至轨道丛情形，其中除子公理由仅限制于未扭扇区。

ABSTRACT

This is a research announcement of the theory of orbifold quantum cohomology.

研究动机与目标

• 为辛或射影轨道丛的格罗莫夫-威滕不变量发展一个数学理论，尤其关注共形分辨率与奇异流形变换的情形。
• 通过将扭扇区纳入量子上同调，为轨道丛弦理论提供几何与拓扑基础。
• 精确地数学化表述并验证轨道丛弦理论的预测：轨道丛量子上同调同构于其共形分辨率的量子上同调。
• 通过一种基于扭扇区定义的新上同调理论——轨道丛上同调，将量子上同调的概念推广至包含轨道丛奇点的情形。
• 通过将局部化与手术技术推广至轨道丛情形，为双有理几何与镜像对称的应用奠定基础。

提出的方法

• 通过在轨道丛上的稳定映射模空间 $\overline{{\cal M}}_{g,k}(X,J,A,{\bf x})$ 上进行虚拟积分来定义轨道丛格罗莫夫-威滕不变量，使用虚拟基本类。
• 为轨道丛模空间中的稳定映射构造局部库兰希邻域，并将其拼接为全局虚拟邻域以处理奇点。
• 使用相容的陈类形式在全局虚拟邻域上执行虚拟积分，借鉴 [FO]、[LT] 和 [Ru] 的技术。
• 通过亏格零、度数零的格罗莫夫-威滕不变量定义轨道丛上杯积，将量子积推广至轨道丛情形。
• 确保该理论满足威滕-阮的量子上同调公理，其中轨道丛上杯积取代普通上杯积。
• 将除子公理由限制于未扭扇区中的除子类（$H^2(X;\mathbb{Q})$）以保持与轨道丛几何的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为辛或射影轨道丛定义格罗莫夫-威滕不变量，特别是在存在奇点与扭扇区的情形？
• RQ2 量子上同调在轨道丛上的正确推广是什么？它与共形分辨率的量子上同调有何关系？
• RQ3 轨道丛弦理论的预测——即轨道丛量子上同调同构于其共形分辨率的量子上同调——能否被数学化表述并验证？
• RQ4 共形场论中的扭扇区如何转化为代数与辛几何中的拓扑与几何结构？
• RQ5 轨道丛K-理论与弦论意义的霍奇数在轨道丛量子上同调的上同调结构中起什么作用？

主要发现

• 轨道丛格罗莫夫-威滕不变量通过在模空间 $\overline{{\cal M}}_{g,k}(X,J,A,{\bf x})$ 上的虚拟积分定义，使用由局部库兰希模型构造的全局虚拟邻域。
• 轨道丛上杯积通过亏格零、度数零的不变量定义，并满足量子上同调公理，其中轨道丛上杯积取代普通上杯积。
• 小量子积与大量子积在 $H^{\ast}_{orb}(X;\mathbb{Q})\otimes\mathcal{C}$ 上对合适的系数环 $\mathcal{C}$ 是良好定义的，推广了普通量子上同调。
• 该理论满足威滕-阮的量子上同调公理，唯一例外是除子公理由仅适用于未扭扇区 $H^2(X;\mathbb{Q})$ 中的类。
• 轨道丛上同调群 $H^{\ast}_{orb}(X;\mathbb{Q})$ 在戈伦斯坦情形下与巴蒂列夫-戴斯定义的弦论意义霍奇数一致。
• 该构造为研究轨道丛范畴中的镜像对称与双有理几何提供了自然框架，尤其适用于卡拉比-丘轨道丛及其共形分辨率。