[论文解读] A-infinity functors for Lagrangian correspondences

S. Ma’u, Katrin Wehrheim+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用 14

一句话总结

本文通过单调拉格朗日子对应构造了弗克雅类别之间的 $A_\infty$ 函子，建立了同调镜像对称中 Mukai 函子的链上类比。关键结果表明，当复合为光滑且嵌入时，这些函子的复合同伦于与几何复合对应的函子。

ABSTRACT

We construct A-infinity functors between Fukaya categories associated to monotone Lagrangian correspondences between compact symplectic manifolds. We then show that the composition of A-infinity functors for correspondences is homotopic to the functor for the composition, in the case that the composition is smooth and embedded.

研究动机与目标

• 为与单调拉格朗日子对应相关的弗克雅类别构造 $A_\infty$ 函子，提供类似于 Mukai 函子的镜像对称函子的链上实现。
• 通过将弗克雅类别扩大以包含广义拉格朗日 brane，解决早期基于对偶性的构造中的复合问题。
• 在复合为光滑且嵌入的条件下，建立 $A_\infty$ 函子的复合与对应子的几何复合所关联的函子之间的同伦等价性。
• 通过 Floer 上循环定义 $A_\infty$ 函子之间的自然变换，实现在弗克雅类别框架下函子的协调演算。
• 将先前工作的上同调层结果推广至链层，确保与导出范畴及同调镜像对称的相容性。

提出的方法

• 构造一个广义弗克雅类别 $\operatorname{Fuk}^\sharp(M_0,M_1)$，其对象为具有 brane 结构（定向、分次、相对自旋结构）的可适配广义拉格朗日子对应。
• 对每个单调拉格朗日子对应 $L_{01} \subset M_0^- \times M_1$，定义从 $\operatorname{Fuk}^\sharp(M_0)$ 到 $\operatorname{Fuk}^\sharp(M_1)$ 的 $A_\infty$ 函子 $\Phi(L_{01})$。
• 使用带有条带状端点的缝补曲面族中的伪全纯拼布（pseudoholomorphic quilts）通过伪全纯映射的模空间来定义 $A_\infty$ 函子的高阶运算。
• 通过 Floer 上循环 $\alpha \in CF(L_{01}, L_{01}')$ 定义 $A_\infty$ 函子 $\Phi(L_{01})$ 与 $\Phi(L_{01}')$ 之间的自然变换 $\mathcal{T}_\alpha$。
• 通过涉及 $A_\infty$ 运算与函子分量的带符号复合和，建立预自然变换的微分，确保自然变换的闭性。
• 通过从边界条件位于复合对应上的拼布模空间构造的显式同伦数据，证明同伦等价性 $\Phi(L_{12}) \circ \Phi(L_{01}) \simeq \Phi(L_{01} \circ L_{12})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造拉格朗日子对应的 $A_\infty$ 函子，以保持弗克雅类别代数结构？
• RQ2 $A_\infty$ 函子的复合与拉格朗日子对应的几何复合之间有何关系？
• RQ3 能否通过 Floer 上循环定义 $A_\infty$ 函子之间的自然变换？它们如何与 $A_\infty$ 结构相互作用？
• RQ4 在何种条件下，对应函子的复合同伦于几何复合所关联的函子？
• RQ5 链层的 $A_\infty$ 函子演算如何与同调镜像对称中的上同调层构造及导出范畴相关联？

主要发现

• 为每个单调拉格朗日子对应 $L_{01} \subset M_0^- \times M_1$ 构造了从 $\operatorname{Fuk}^\sharp(M_0)$ 到 $\operatorname{Fuk}^\sharp(M_1)$ 的 $A_\infty$ 函子 $\Phi(L_{01})$，其诱导出 [42, 定义 5.1] 中的上同调层函子。
• 对于拉格朗日 brane $L_0 \subset M_0$ 和 $L_1 \subset M_1$，有同构 $H\operatorname{Hom}(\Phi(L_{01})L_0, L_1) \cong HF(L_0^- \times L_1, L_{01})$，系数为 $\mathbb{Z}_2$。
• 对每个 Floer 上循环 $\alpha \in CF(L_{01}, L_{01}')$，构造了自然变换 $\mathcal{T}_\alpha: \Phi(L_{01}) \to \Phi(L_{01}')$，形成闭的预自然变换。
• 当几何复合 $L_{01} \circ L_{12}$ 为光滑且嵌入时，函子复合 $\Phi(L_{12}) \circ \Phi(L_{01})$ 同伦于 $\Phi(L_{01} \circ L_{12})$。
• 在相对自旋情形下，同伦等价性在背景类上移位下仍成立，且保持了 $A_\infty$ 结构。
• 该构造提供了先前上同调层函子的链层精化，实现了拉格朗日子对应下 $A_\infty$ 函子的一致演算。