[论文解读] Floer field theory for tangles

Katrin Wehrheim, Chris Woodward|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 40被引用 10

一句话总结

本论文通过在带有无迹单值的穿孔曲面上的平坦 SU(r)-丛模空间上应用带花边的 Floer 理论，构建了函子值不变量以处理辫子。通过将辫子 bordism 分解为具有单个临界点的初等部分，作者定义了一种辛场论，该理论在广义 Fukaya 类别之间赋予 $A_\infty$-函子，并证明了其在 Cerf 分解下的不变性，同时通过 Seidel 对五穿孔球面的计算，确立了辛映射类群元素的非平凡性。

ABSTRACT

We use quilted Floer theory to construct functor-valued invariants of tangles arising from moduli spaces of flat bundles on punctured surfaces. As an application, we show the non-triviality of certain elements in the symplectic mapping class groups of moduli spaces of flat bundles on punctured spheres.

研究动机与目标

• 使用拉格朗日子弗上同调与带花边的 Floer 理论，为辫子构造函子值不变量。
• 通过在标签和共轭类上施加可接受性条件，克服平坦丛模空间中的奇点与非单调性。
• 通过将 bordism 分解为具有单个临界点的初等部分，为辫子与图定义一致的场论。
• 证明构造在 Cerf 分解下独立，并证明其在等价意义下的不变性。
• 通过五穿孔球面上的计算，展示模空间辛映射类群元素的非平凡性。

提出的方法

• 使用带花边的 Floer 理论，将平坦 SU(r)-丛模空间（具有无迹单值）的广义 Fukaya 类别之间关联为函子。
• 通过具有孤立临界点的 Morse 函数将辫子 bordism 分解为初等部分，确保拉格朗多少元对应关系的光滑性与单调性。
• 将广义拉格朗多少元对应关系定义为产品模空间的子集，使其在每个带辫子的初等 bordism 上均可延拓。
• 通过赋予对应关系相对自旋结构，确保 Floer 理论函子的良定义性，依赖于 [51] 与 [56] 的结果。
• 通过证明在初等移动中对应关系的复合等价性（包括顶点与指标 1 临界点的转换），证明其在 Cerf 移动下的不变性。
• 利用 Seidel 对五穿孔球面的计算，推导出模空间辛映射类群中的一个非平凡元素。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用具有无迹单值的平坦丛模空间上的拉格朗多少弗上同调，构造辫子的函子值不变量？
• RQ2 如何通过施加可接受性条件，对平坦丛模空间中的奇点与非单调性进行正则化，以支持带花边的 Floer 不变量？
• RQ3 该构造在将辫子 bordism 分解为初等部分的不同分解下是否保持不变？
• RQ4 此处构造的辛场论与瞬子纽结不变量或 Atiyah-Floer 猜想之间存在何种关系？
• RQ5 能否在穿孔曲面上平坦丛模空间的辛映射类群中检测到非平凡元素？

主要发现

• 本文构建了一个从辫子范畴 Tan(X,r,d) 到 $A_\infty$-范畴类别的良定义函子，为每个标记边界分配平坦丛模空间的广义 Fukaya 类别。
• 该构造与 Cerf 分解的选择无关，如其在 Cerf 移动（包括顶点与指标 1 临界点转换）下的不变性所证明。
• 对于具有相等标签的五穿孔球面，其辛映射类群包含一个非平凡元素，此结果由 Seidel 的计算得出。
• 在标签与共轭类的可接受性假设下，与初等带辫子 bordism 相关的广义拉格朗多少元对应关系是光滑且单调的。
• 所得到的场论可推广至图，为具有可接受标签的带装饰图定义了一个辛值场论。
• 由于可接受性与单调性条件，即使底层模空间具有奇点，函子不变量仍为良定义且在等价意义下独立。