[论文解读] A Landau-Ginzburg model for Lagrangian Grassmannians, Langlands duality and relations in quantum cohomology

Clélia Pech, Konstanze Rietsch|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用 9

一句话总结

本文在朗兰兹对偶正交 Grassmannian $\mathrm{OG^{co}}(m+1,2m+1)$ 上构造了拉格朗日子流形 $LG(m)$ 的 Landau-Ginzburg 模型，作为有理函数，证明其与 [Rie08] 中已知的超势能同构。该工作为 $LG(m)$ 建立了镜像对称框架，通过显式超势能公式揭示了新的量子上同调关系，并提出了新的量子 Schubert 计算恒等式，对 $LG(2)$ 和 $LG(3)$ 提供了显式表达式，使用 Schubert 坐标 $p_\lambda$。该模型通过对应于超平面类的项捕捉了反 canonical 类，分母次数之和与对偶簇的指标一致。

ABSTRACT

In [Rie08], the second author defined a Landau-Ginzburg model for homogeneous spaces G/P, as a regular function on an affine subvariety of the Langlands dual group. In this paper, we reformulate this LG-model (X^,W_t) in the case of the Lagrangian Grassmannian LG(m) as a rational function on a Langlands dual orthogonal Grassmannian, in the spirit of work by R. Marsh and the second author [MR12] for type A Grassmannians. This LG model has some very interesting features, which are not visible in the type A case, to do with the non-triviality of Langlands duality. We also formulate a conjecture relating our superpotential with the quantum differential equations of LG(m). Finally, our expression for W_t also leads us to conjecture new formulas in the quantum Schubert calculus of LG(m).

研究动机与目标

• 在朗兰兹对偶正交 Grassmannian $\mathrm{OG^{co}}(m+1,2m+1)$ 上显式构造拉格朗日子流形 $LG(m)$ 的 Landau-Ginzburg 模型，作为有理函数。
• 通过李理论方法证明该新 LG 模型与 [Rie08] 中构造的超势能同构。
• 揭示 $LG(m)$ 中新的量子上同调结构，特别是通过超势能的结构及其与量子微分方程的关系。
• 基于超势能 $W_t$ 的显式形式，对 $LG(m)$ 的量子 Schubert 计算提出新公式。

提出的方法

• 利用朗兰兹对偶群框架构造模型，其中超势能 $W_t$ 定义为 $\mathrm{OG^{co}}(m+1,2m+1)$ 上的有理函数，使用以严格分拆为指标的 Schubert 坐标 $p_\lambda$。
• 该构造利用了 $\mathrm{OG^{co}}(m+1,2m+1)$ 与最大正交 Grassmannian $\mathrm{OG}(m,2m+1)$ 之间的同构，后者是 $LG(m)$ 的朗兰兹对偶。
• 超势能 $W_t$ 表示为若干有理项之和，每一项对应一个超平面类，其中 $e^t$ 项编码了量子修正。
• 该模型通过分母中各项次数之和等于对偶簇的指标（$m=2$ 时为 4，$m=3$ 时为 6）恢复了反 canonical 类。
• 与 [Rie08] 的同构性证明依赖于将超势能用李理论数据（包括 Chevalley 生成元、Weyl 群代表元和权空间计算）识别。
• 通过 Weyl 群结构和最小长度陪集代表元 $w^P$，为 $LG(2)$ 和 $LG(3)$ 推导出 $W_t$ 的显式公式，其中 $e^t$ 项与第 $m$ 个基本表示相关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用朗兰兹对偶显式构造 $LG(m)$ 的 Landau-Ginzburg 模型？
• RQ2 在 $\mathrm{OG^{co}}(m+1,2m+1)$ 上的新超势能 $W_t$ 是否与 [Rie08] 中的超势能同构？
• RQ3 从 $W_t$ 的显式形式中，会涌现出哪些新的量子上同调关系或结构？
• RQ4 能否利用超势能 $W_t$ 对 $LG(m)$ 的量子 Schubert 计算提出新公式？
• RQ5 $W_t$ 的结构，特别是各项与分母次数，如何反映反 canonical 类与对偶簇的指标？

主要发现

• 对于 $LG(2)$，超势能显式给出为 $W_t = \frac{p_{\ydiagram{1}}}{p_\emptyset} + \frac{p_{\ydiagram{2}}^2}{p_{\ydiagram{1}}p_{\ydiagram{2}} - p_\emptyset p_{\ydiagram{2,1}}} + e^t \frac{p_{\ydiagram{1}}}{p_{\ydiagram{2,1}}}$，其为 $\mathrm{OG^{co}}(3,5)$ 上的有理函数。
• 对于 $LG(3)$，超势能为 $W_t = \frac{p_{\ydiagram{1}}}{p_\emptyset} + \frac{p_{\ydiagram{2}}p_{\ydiagram{3}} - p_\emptyset p_{\ydiagram{3,2}}}{p_{\ydiagram{1}}p_{\ydiagram{3}} - p_\emptyset p_{\ydiagram{3,1}}} + \frac{p_{\ydiagram{3,1}}p_{\ydiagram{3,2}} - p_{\ydiagram{3}}p_{\ydiagram{3,2,1}}}{p_{\ydiagram{2,1}}p_{\ydiagram{3,2}} - p_{\ydiagram{2}}p_{\ydiagram{3,2,1}}} + e^t \frac{p_{\ydiagram{2,1}}}{p_{\ydiagram{3,2,1}}}$，定义在 $\mathrm{OG^{co}}(4,7)$ 上。
• 在 $W_t$ 中，项的数量对应于对偶簇的指标：$m=2$ 时为 4，$m=3$ 时为 6，与反 canonical 除子的次数一致。
• 在 $W_t$ 中，分母各项次数之和等于对偶簇的指标（4 和 6），确认 $W_t$ 在 Jacobi 环中表示反 canonical 类。
• 通过将 $e^t$ 项与第 $m$ 个基本表示及权空间分析进行李理论识别，证明该模型与 [Rie08] 中的超势能同构。
• 作者猜想 $W_t$ 与 $LG(m)$ 的量子微分方程相关，并基于超势能的结构提出新的量子 Schubert 计算公式。