[论文解读] A large deviation approach to some transportation cost inequalities

Nathaël Gozlan, C. Léonard|ArXiv.org|Oct 27, 2005

Optimization and Variational Analysis参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文利用大偏差原理建立了新的运输成本不等式，提供了对Bobkov与Götze工作的双重表征扩展。通过参考测度的可积性条件，推导出这些不等式的充分必要条件，进而借助张量化与凸共轭分析，获得关于经验过程的精确集中与偏差结果。

ABSTRACT

New transportation cost inequalities are derived by means of elementary large deviation reasonings. Their dual characterization is proved; this provides an extension of a well-known result of S. Bobkov and F. Götze. Their tensorization properties are investigated. Sufficient conditions (and necessary conditions too) for these inequalities are stated in terms of the integrability of the reference measure. Applying these results leads to new deviation results: concentration of measure and deviations of empirical processes.

研究动机与目标

• 通过基本的大偏差推理推导新的运输成本不等式。
• 将Bobkov与Götze的双重表征结果推广至更广泛的不等式类别。
• 研究所推导不等式在乘积测度与经验测度下的张量化性质。
• 以参考测度的可积性为条件，建立不等式的充分必要条件。
• 将结果应用于获得经验过程的精确集中与偏差界。

提出的方法

• 作者利用大偏差原理，通过压缩原理与指数倾斜法推导运输成本不等式。
• 利用Lipschitz函数的对数矩生成函数，建立不等式的双重表征。
• 该方法涉及凸共轭分析，特别是累积量生成函数的单调共轭。
• 通过分析乘积测度的累积量生成函数，并应用次可加性与凸性论证，实现张量化。
• 框架使用凸、递增、下半连续函数类来表征最优运输函数。
• 证明依赖于变分表示，以及通过凸对偶性关联偏差函数与运输成本的机制。

实验结果

研究问题

• RQ1 大偏差技术如何用于推导新的运输成本不等式？
• RQ2 这些不等式的双重表征是什么？其如何扩展Bobkov与Götze的结果？
• RQ3 以可积性为条件，测度满足此类不等式的必要与充分条件是什么？
• RQ4 这些不等式在乘积测度与经验过程下如何表现？
• RQ5 从这些不等式中导出的经验过程的最优偏差函数是什么？

主要发现

• 本文证明：当且仅当有界Lipschitz函数的对数矩生成函数被 $ Cs^2/2 $ 控制时，测度满足 $ T_p(C) $ 不等式，从而扩展了Bobkov与Götze的双重表征结果。
• 对于 $ T_1(C) $，给出了以 $ \exp(a_0 d(x_0,x)^2) $ 的可积性为条件的充分必要条件，从而刻画了高斯集中性。
• 不等式的张量化表明：若每个边缘满足 $ T_1(C_i) $，则乘积测度满足 $ T_1(\sum C_i) $；对于 $ T_2 $，乘积测度满足 $ T_2(\max C_i) $。
• 对于经验过程，偏差率函数被证明上界为各分量偏差函数的下确界，在适当条件下极限时取等。
• 在类 $ \mathcal{C} $ 中，最优运输函数被识别为测试函数类上累积量生成函数上确界的共轭。
• 凸共轭 $ \Lambda_{\Phi}^{\circledast} $ 是偏差函数 $ J_\Phi $ 的凸下半连续正则化形式，并在连续性假设下被证明是类 $ \mathcal{C} $ 中最优的偏差函数。