[论文解读] A large deviation principle for Markovian slow-fast systems

Richard C. Kraaij, Mikola C. Schlottke|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2020

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 52被引用 4

一句话总结

本文在时间尺度分离趋于无穷的弱耦合马尔可夫慢-快系统中，为慢变量建立了路径意义上的大偏差原理（LDP）。通过将LDP与哈密顿-雅可比-贝尔曼方程的粘性解联系起来（其适定性已在附录论文中建立），推导出速率函数的两种形式：对慢速速度与快速度量的双重优化，以及主特征值问题。关键贡献在于从大偏差出发，严格推导出平均化原理，并在慢变量与快扩散耦合的实测测度-通量对系统中得到验证。

ABSTRACT

We prove pathwise large deviation principles of slow variables in slow-fast systems in the limit of time-scale separation tending to infinity. In the limit regime we consider, the convergence of the slow variable to its deterministic limit and the convergence of the fast variable to equilibrium are competing at the same scale. The large deviation principle is proven by relating the large deviation problem to solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations, for which well-posedness was established in the companion paper [arXiv:1912.06579]. We cast the rate functions in action-integral form and interpret the Lagrangians in two ways. First, in terms of a double-optimization problem of the slow variable's velocity and the fast variable's distribution, similar in spirit to what one obtains from the contraction principle. Second, in terms of a principal-eigenvalue problem associated to the slow-fast system. The first representation proves in particular useful in the derivation of averaging principles from the large deviations principles. As main example of our general results, we consider empirical measure-flux pairs coupled to a fast diffusion on a compact manifold. We prove large deviations and use the Lagrangian in double-optimization form to demonstrate the validity of the averaging principle in this system.

研究动机与目标

• 在时间尺度分离趋于无穷的弱耦合马尔可夫慢-快系统中，为慢变量建立路径意义上的大偏差原理。
• 将大偏差问题与哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程的粘性解联系起来，利用附录论文中建立的适定性结果。
• 以两种不同形式表达速率函数：对慢速速度与快速度量分布的双重优化，以及主特征值问题。
• 通过一个具体例子（实测测度-通量对与紧致流形上快速扩散耦合），利用拉格朗日函数的双重优化形式，验证平均化原理的有效性。

提出的方法

• 将慢-快系统表述为具有不同时间尺度的弱耦合马尔可夫过程，其中快速分量的弛豫时间与慢分量的演化时间处于同一数量级。
• 应用哈密顿-雅可比-贝尔曼方程的粘性解理论，刻画大偏差原理的速率函数。
• 以作用量积分形式推导速率函数，其中拉格朗日函数表示为对慢变量速度与快变量经验测度分布的双重优化。
• 通过与慢-快系统生成元相关的主特征值问题重新表达拉格朗日函数，提供一种谱解释。
• 利用双重优化形式，从大偏差原理中严格推导出平均化原理。
• 在具体例子中验证该框架：实测测度-通量对与紧致黎曼流形上的快速扩散耦合，证明大偏差成立，并验证平均化原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时间尺度分离与弛豫过程处于同一阶时，如何在弱耦合马尔可夫慢-快系统中为慢分量严格建立大偏差原理？
• RQ2 除了标准的作用量积分形式外，大偏差原理的速率函数还能以何种方式表示？
• RQ3 拉格朗日函数的双重优化结构能否用于从大偏差框架中推导出平均化原理？
• RQ4 拉格朗日函数的主特征值表述与慢-快系统的动力学有何关联？
• RQ5 该理论框架在实测测度-通量对在紧致流形上受快速扩散驱动的系统中，适用范围如何？

主要发现

• 在时间尺度分离趋于无穷的极限下，为弱耦合马尔可夫慢-快系统中的慢变量严格建立了大偏差原理。
• 速率函数以作用量积分形式表达，其中拉格朗日函数通过在慢速速度与快速度量分布上的双重优化推导得出，类似于压缩原理。
• 拉格朗日函数的另一种表示形式通过与慢-快系统生成元相关的主特征值问题给出，提供了谱解释。
• 拉格朗日函数的双重优化形式使得可直接从大偏差原理推导出平均化原理，为平均化极限提供了严格依据。
• 在主要例子中——实测测度-通量对与紧致流形上的快速扩散耦合——大偏差原理成立，且利用双重优化结构验证了平均化原理。
• 结果基于关联哈密顿-雅可比-贝尔曼方程的适定性，该适定性已在附录论文[36]中建立，确保了该框架的数学一致性。