[论文解读] A Lauricella hypergeometric series over finite fields

Bing He|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出了Lauricella超几何级数$F_D^{(n)}$在有限域上的类比，推广了Greene和Li等人关于有限域超几何函数的研究。它建立了积分公式、约化与变换恒等式，并推导出该级数的两个生成函数，将经典结果扩展至有限域上的多变量情形。

ABSTRACT

In this paper we introduce a finite field analogue of a Lauricella hypergeometric series. An integral formula for the Lauricella hypergeometric series and its finite field analogue are deduced. Transformation and reduction formulae and several generating functions for the Lauricella hypergeometric series over finite fields are obtained. Some of these generalize certain results of Li \emph{et al} and Greene as well as several other known results.

研究动机与目标

• 开发多变量Lauricella超几何级数$F_D^{(n)}$在有限域上的类比，将经典超几何理论推广至有限域。
• 将Greene和Li等人关于有限域超几何函数的结果推广至多变量情形。
• 为有限域Lauricella级数建立变换与约化公式。
• 推导出能推广${}_2F_1$与Appell $F_1$已知结果的级数生成函数。
• 为研究有限域上的特殊函数提供框架，其在数论与算术几何中有应用。

提出的方法

• 通过特征和定义$F_D^{(n)}$在有限域上的类比：$F_D^{(n)}(A;B_1,\dots,B_n;C|x_1,\dots,x_n) = \varepsilon(x_1\cdots x_n)AC(-1)\sum_u A(u)\overline{A}C(1-u)\overline{B_1}(1-x_1u)\cdots\overline{B_n}(1-x_nu)$。
• 采用受经典$F_D^{(n)}$积分公式启发的有限域积分表示，以特征和与雅可比和代替伽马函数。
• 应用特征和恒等式及高斯和与雅可比和的性质，特别是$J(\chi,\lambda) = \sum_u \chi(u)\lambda(1-u)$，推导变换与约化公式。
• 利用涉及乘法特征$\theta \in \widehat{\mathbb{F}_q}^*$求和的生成函数技巧，推导新的生成恒等式。
• 以Greene（1984）和Li等人（2014）关于有限域超几何函数的已知结果作为基础工具。
• 利用有限域上的二项式系数类比：${A \choose B} = B(-1)J(A,\overline{B})$，以代数方式表达与操作该级数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将多变量Lauricella超几何级数$F_D^{(n)}$推广至有限域？
• RQ2 $F_D^{(n)}$在有限域上是否存在类比于经典积分表示与变换恒等式的表达？
• RQ3 能否推导出能推广${}_2F_1$与$F_1$已知结果的有限域Lauricella级数的生成函数？
• RQ4 有限域$F_D^{(n)}$的约化与变换公式与经典情形中的公式有何关联？
• RQ5 特征和与雅可比和在构造与分析$F_D^{(n)}$的有限域类比中起何作用？

主要发现

• 通过包含$\varepsilon(x_1\cdots x_n)AC(-1)\sum_u A(u)\overline{A}C(1-u)\overline{B_1}(1-x_1u)\cdots\overline{B_n}(1-x_nu)$的特征和，定义了Lauricella超几何级数$F_D^{(n)}$在有限域上的类比，推广了Greene与Li等人等人的工作。
• 建立了有限域$F_D^{(n)}$的积分公式，其形式与经典$F_D^{(n)}$的积分表示一致，但以特征和代替伽马函数。
• 推导出约化与变换公式，包括涉及变量缩放$x_i \to x_i/(1+t)$的变换，该公式推广了$F_1$与${}_2F_1$的已知恒等式。
• 得到了两个生成函数：其中一个涉及对特征$\theta$求和，得到$F_D^{(n)}(A;B_1,\dots,B_n;C\overline{\theta}|x_1,\dots,x_n)$与$F_D^{(n)}(A;B_1,\dots,B_n;C|x_1/(1+t),\dots,x_n/(1+t))$之间的关系。
• 当$n=1$或$n=2$时，生成函数恒等式退化为已知结果，恢复了高斯超几何级数${}_2F_1$与Appell级数$F_1$的生成函数。
• 结果推广了Li等人与Greene的先前工作，将他们的有限域超几何理论扩展至多变量Lauricella情形，并以明确的特征和表达式呈现。