[论文解读] A Levy-area between Brownian motion and rough paths with applications to robust non-linear filtering and RPDEs

Joscha Diehl, Harald Oberhauser+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用 12

一句话总结

本文建立了确定性几何粗糙路径与布朗运动之间的规范联合粗糙路径提升，使得由布朗运动和粗糙路径共同驱动的混合随机微分方程得以严格表述。证明了解映射在局部Lipschitz连续性，并推导出联合提升的高斯尾部估计，从而实现鲁棒的非线性滤波以及具有统一可积性界的一致性粘性解法求解RPDE。

ABSTRACT

We give meaning to differential equations with a rough path term and a Brownian noise term as driving signals. Such differential equations as well as the question of regularity of the solution map arise naturally and we discuss two applications: one revisits Clark's robustness problem in nonlinear filtering, the other is a Feynman--Kac type representation of linear RPDEs. En passant, we give a short and direct argument that implies integrability estimates for rough differential equations with Gaussian driving signals which is of independent interest.

研究动机与目标

• 定义确定性粗糙路径与布朗运动之间的规范联合粗糙路径提升，克服两个粗糙路径之间一般不存在联合提升的障碍。
• 为由布朗运动和粗糙路径共同驱动的混合SDE赋予意义，特别是在向量场具有非平凡李括号时。
• 在H"older空间到适应随机过程空间的L^q范数下，建立解映射从粗糙路径空间到适应随机过程的局部Lipschitz连续性。
• 重新审视并强化由高斯信号驱动的粗糙微分方程的可积性估计，证明在粗糙路径参数上一致的高斯尾部界。

提出的方法

• 引入一个随机过程 $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$，称为规范联合提升，介于确定性阶2粗糙路径 $\boldsymbol{\eta}$ 与布朗运动 $B$ 之间，通过Itō积分逼近构造。
• 利用联合提升 $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ 通过粗糙微分方程（RDE）形式化定义如下形式的混合SDE的解：$S_t^\eta = S_0 + \int a(S_r^\eta)dr + \int b(S_r^\eta)\circ dB_r + \int c(S_r^\eta)d\boldsymbol{\eta}_r$。
• 应用Friz–Victoir提升方法于高斯过程，并建立联合提升 $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ 的p-变差与H"older正则性估计。
• 采用基于Itō积分逼近的新颖论证方法，证明 $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ 几乎必然为几何粗糙路径，并满足时间平移不变性。
• 利用嵌入定理与矩界，推导出 $\beta$-变差范数 $N_\beta(\boldsymbol{\Lambda}^\eta;[0,T])$ 的高斯尾部估计。
• 将这些可积性结果应用于证明由 $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ 驱动的粗糙随机微分方程（RSDE）解的指数矩，且在粗糙路径参数 $\boldsymbol{\eta}$ 上一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管两个粗糙路径之间一般不存在联合提升，是否可以为确定性粗糙路径与布朗运动之间构造一个规范联合粗糙路径提升？
• RQ2 当向量场具有非平凡李括号时，如何严格定义由布朗运动和粗糙路径共同驱动的混合SDE？
• RQ3 解映射 $\boldsymbol{\eta} \mapsto S^\boldsymbol{\eta}$ 是否在H"older空间到适应过程空间的 $L^q$-范数下局部Lipschitz连续？
• RQ4 由联合提升 $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ 驱动的粗糙微分方程的解是否在所有有界H"older-范数集合中的 $\boldsymbol{\eta}$ 上具有统一的高斯可积性估计？
• RQ5 高斯粗糙路径的可积性理论是否可扩展，以获得由 $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ 驱动的RSDE解的统一指数矩？

主要发现

• 在确定性阶2粗糙路径 $\boldsymbol{\eta}$ 与布朗运动 $B$ 之间存在规范联合粗糙路径提升 $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$，满足时间平移不变性与几乎必然的几何粗糙路径性质。
• 解映射 $\boldsymbol{\eta} \mapsto S^\boldsymbol{\eta}$ 在H"older空间 $\mathcal{C}^{0,\alpha}$ 到 $L^q$-有界适应过程空间之间是局部Lipschitz连续的。
• 对每个 $r>0$，存在 $\delta>0$，使得 $\sup_{\|\boldsymbol{\eta}\|_{\alpha-\text{H}\ddot{o}l} \leq r} \mathbb{E}\left[\exp\left(\delta N_\beta(\boldsymbol{\Lambda}^\eta;[0,T])^2\right)\right] \leq \frac{1}{\delta}$，证明了高斯尾部衰减。
• 联合提升 $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ 满足 $\mathbb{P}[\boldsymbol{\Lambda}^\eta(\omega + h) = T_h \boldsymbol{\Lambda}^\eta(\omega) \text{ for all } h \in \mathcal{H}(\mathbb{R}^e)] = 1$，确保与Wiener混沌结构的一致性。
• 由 $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ 驱动的RSDE的可积性估计在 $\boldsymbol{\eta}$ 上一致，且在有界H"older-范数集合上，指数矩一致有界。
• 结果恢复并扩展了Clark在非线性滤波中的鲁棒性问题，并为具有线性粗糙路径噪声的PDE解提供了Feynman–Kac表示。