[论文解读] Jain-Monrad criterion for rough paths and applications

Peter K. Friz, Benjamin Gess+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用 13

一句话总结

本文通过高斯过程的粗糙路径理论，利用协方差结构上的Jain-Monrad条件，提出了一种改进的随机微积分准则，实现了路径积分与Malliavin正则性。该研究建立了随机傅里叶级数近似方法的收敛速率，并将该框架应用于SPDEs与非马尔可夫赫尔曼德理论，推广了关于Cameron-Martin路径及互补Young正则性的先前结果。

ABSTRACT

We discuss stochastic calculus for large classes of Gaussian processes, based on rough path analysis. Our key condition is a covariance measure structure combined with a classical criterion due to Jain-Monrad [Ann. Probab. (1983)]. This condition is verified in many examples, even in absence of explicit expressions for the covariance or Volterra kernels. Of special interest are random Fourier series, with covariance given as Fourier series itself, and we formulate conditions directly in terms of the Fourier coefficients. We also establish convergence and rates of convergence in rough path metrics of approximations to such random Fourier series. An application to SPDE is given. Our criterion also leads to an embedding result for Cameron-Martin paths and complementary Young regularity (CYR) of the Cameron-Martin space and Gaussian sample paths. CYR is known to imply Malliavin regularity and also It\^o-like probabilistic estimates for stochastic integrals (resp. stochastic differential equations) despite their (rough) pathwise construction. At last, we give an application in the context of non-Markovian H\ormander theory. The results include and extend those of [arXiv:1211.0046].

研究动机与目标

• 通过粗糙路径理论，为一大类高斯过程发展一个稳健的随机微积分框架。
• 通过互补Young正则性，将Malliavin正则性与伊藤型估计推广至路径积分形式的随机积分。
• 提出一种基于协方差结构的一般性准则，即使在无显式Volterra核或协方差表达式的情况下也适用。
• 在粗糙路径度量下，建立随机傅里叶级数近似方法的收敛性及其收敛速率。
• 将该框架应用于SPDEs与非马尔可夫赫尔曼德理论，推广先前结果。

提出的方法

• 通过协方差测度结构将Jain-Monrad准则适配于高斯过程，实现粗糙路径积分。
• 利用该条件推导出Cameron-Martin空间与样本路径之间的互补Young正则性（CYR）。
• 通过在傅里叶系数上直接设定条件，将该准则应用于随机傅里叶级数。
• 在粗糙路径度量下建立此类级数近似方法的收敛性，并给出显式收敛速率。
• 采用粗糙路径技术，即使在路径粗糙的情况下，仍以路径方式构造随机积分与SDEs。
• 将该框架应用于SPDEs与非马尔可夫赫尔曼德理论，展示其更广泛的应用潜力。

实验结果

研究问题

• RQ1 Jain-Monrad准则能否被适配，以在无显式Volterra核的情况下，为一般高斯过程实现粗糙路径随机微积分？
• RQ2 在随机傅里叶级数背景下，傅里叶系数需满足何种条件，才能确保互补Young正则性与Malliavin正则性？
• RQ3 在所提出的准则下，随机傅里叶级数的粗糙路径近似方法的收敛速率为何？
• RQ4 该框架如何扩展至由粗糙高斯噪声驱动的SPDEs？
• RQ5 该准则在何种意义上支持非马尔可夫赫尔曼德型理论的超椭圆性研究？

主要发现

• 协方差结构上的Jain-Monrad条件可确保Cameron-Martin路径与样本路径之间具有互补Young正则性，从而实现路径积分形式的随机微积分。
• 该框架适用于在傅里叶系数上直接设定条件的随机傅里叶级数，即使无显式核表达式亦可适用。
• 建立了随机傅里叶级数粗糙路径近似方法的收敛速率，为近似误差提供了定量控制。
• 尽管采用路径方式构造，该方法仍能获得Malliavin正则性与伊藤型估计。
• 该理论可推广至SPDEs与非马尔可夫赫尔曼德理论，推广了arXiv:1211.0046中的先前结果。
• 推导出Cameron-Martin路径的嵌入结果，将再生核希尔伯特空间的结构与粗糙路径正则性联系起来。