[论文解读] A Linear Time Parameterized Algorithm for Directed Feedback Vertex Set

Daniel Lokshtanov, M. S. Ramanujan+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 47被引用 9

一句话总结

本文提出了首个线性时间固定参数可满足（FPT）算法来解决有向反馈顶点集（DFVS）问题，时间复杂度为 $\mathcal{O}(k!\,4^k\,k^5\,(n+m))$。该算法通过引入一种基于分隔符的迭代缩小技术，实现了在保持参数依赖性的同时减小实例规模，其参数依赖性与目前已知的最佳结果仅相差一个 $k$ 因子。该方法还为相关问题（如 Multicut 和有向子集反馈顶点集）带来了加速效果。

ABSTRACT

In the Directed Feedback Vertex Set (DFVS) problem, the input is a directed graph $D$ on $n$ vertices and $m$ edges, and an integer $k$. The objective is to determine whether there exists a set of at most $k$ vertices intersecting every directed cycle of $D$. Whether or not DFVS admits a fixed parameter tractable (FPT) algorithm was considered the most important open problem in parameterized complexity until Chen, Liu, Lu, O'Sullivan and Razgon [JACM 2008] answered the question in the affirmative. They gave an algorithm for the problem with running time $O(k!4^kk^4nm)$. Since then, no faster algorithm for the problem has been found. In this paper, we give an algorithm for DFVS with running time $O(k!4^kk^5(n+m))$. Our algorithm is the first algorithm for DFVS with linear dependence on input size. Furthermore, the asymptotic dependence of the running time of our algorithm on the parameter $k$ matches up to a factor $k$ the algorithm of Chen, Liu, Lu, O'Sullivan and Razgon. On the way to designing our algorithm for DFVS, we give a general methodology to shave off a factor of $n$ from iterative-compression based algorithms for a few other well-studied covering problems in parameterized complexity. We demonstrate the applicability of this technique by speeding up by a factor of $n$, the current best FPT algorithms for Multicut [STOC 2011, SICOMP 2014] and Directed Subset Feedback Vertex Set [ICALP 2012, TALG 2014].

研究动机与目标

• 设计首个线性时间 FPT 算法来解决经典的有向反馈顶点集（DFVS）问题。
• 通过实现对输入规模的线性依赖，改进 Chen 等人（2008 年）提出的当前最优时间复杂度 $\mathcal{O}(4^k\,k!\,k^4\,nm)$。
• 为基于迭代压缩的覆盖问题 FPT 算法开发一种通用方法，以消除 $n$ 的因子。
• 将该技术的适用范围扩展到其他问题，如 Multicut 和有向子集反馈顶点集。
• 展示该算法在 $k$ 值较小时具有可实现性与高效性，因其隐藏常数较低。

提出的方法

• 提出一种基于分隔符的新迭代缩小框架，使每轮迭代中实例规模减少一个常数比例。
• 利用紧密分隔符序列识别出优良分隔符，这些分隔符要么减少参数值，要么允许对实例进行高效压缩。
• 使用 $l$-良好、$r$-良好、$l$-轻量和 $r$-轻量分隔符的概念，指导寻找有效反馈顶点集的搜索过程。
• 将一般 DFVS 问题通过黑箱归约转换为压缩版本，从而实现线性时间性能。
• 利用解结构的刚性，确保由分隔符诱导出的子结构始终保留在目标图类中。
• 将相同技术应用于 Multicut 和有向子集反馈顶点集问题，使现有 FPT 算法的运行时间提升 $n$ 倍。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为有向反馈顶点集问题设计出线性时间 FPT 算法，实现 $\mathcal{O}(f(k)\cdot(n+m))$ 的运行时间？
• RQ2 是否可以将迭代缩小技术推广至其他使用迭代压缩的 FPT 问题，特别是那些具有 $\mathcal{O}(f(k)\cdot n)$ 额外开销的问题？
• RQ3 能否在实现对输入规模的线性依赖的同时，使算法的参数依赖性与目前已知的最佳结果保持一致？
• RQ4 新的基于分隔符的方法是否能显著提升小 $k$ 值下的实际效率？
• RQ5 该技术能否扩展至其他覆盖问题，如 Multicut 和有向子集反馈顶点集？

主要发现

• 本文提出了首个线性时间 FPT 算法用于 DFVS，其时间复杂度为 $\mathcal{O}(k!\,4^k\,k^5\,(n+m))$，实现了对输入规模的线性依赖。
• 该算法在参数依赖性上与目前已知的最佳结果 $\mathcal{O}(k!\,4^k)$ 仅相差一个 $k$ 因子，因此在指数时间假设（ETH）下几乎是最优的。
• 该方法提出了一种基于分隔符序列的新型迭代缩小方法，每轮迭代将实例规模减少一个常数比例。
• 该技术使现有用于 Multicut 和有向子集反馈顶点集问题的 FPT 算法实现 $n$ 倍加速，将运行时间从 $\mathcal{O}(f(k)\cdot n^2)$ 降低至 $\mathcal{O}(f(k)\cdot n)$。
• 该算法仅依赖基本的算法与组合工具，表明其隐藏常数较低，对小 $k$ 值具有较强的实用效率。
• 该框架提供了一种通用方法，可将任意基于迭代压缩的 FPT 算法（具有 $\mathcal{O}(f(k)\cdot n)$ 额外开销）转换为具有 $\mathcal{O}(f(k)\cdot n)$ 时间复杂度的算法，通过在每一步减少输入规模。