[论文解读] A Liouville Theorem on the PDE $\det(f_{i\bar j})=1$

An-Min Li, Sheng Li|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文建立了复Hessian方程 $\det(f_{i\bar j}) = 1$ 在 $\mathbb{C}^n$ 上光滑拟凸解的Liouville型定理。在相关Kähler度量 $\omega_f$ 完备且满足多项式增长界 $C^{-1}(1+|z|^2) \leq f \leq C(1+|z|^2)$ 的条件下，作者证明 $f$ 必须仿射等价于一个二次多项式，其假设条件弱于以往结果所需的逐点渐近展开。

ABSTRACT

Let $f$ be a smooth plurisubharmonic function which solves $$ \det(f_{i\bar j})=1\;\;\;\;\;\;\mbox{in }Ω\subset \mathbb C^n.$$ Suppose that the metric $ω_{f}=\sqrt{-1}f_{i\bar j}dz_{i}\wedge d\bar z_{j}$ is complete and $f$ satisfies the growth condition $$ C^{-1}(1+|z|^2)\leq f\leq C(1+ |z|^2),\;\;\;\; as\;\;\; |z| o \infty. $$ for some $C>0,$ then $f$ is quadratic.

研究动机与目标

• 在弱于以往结果的生长条件下，建立复Hessian方程 $\det(f_{i\bar j}) = 1$ 在 $\mathbb{C}^n$ 上的Liouville型定理。
• 解决Szekelyhidi提出的问题：在度量完备条件下，有界增长是否意味着解具有二次结构？
• 证明在完备性和二次增长条件下，$f$ 的混合二阶导数为常数，从而推出其仿射等价于二次多项式。
• 将Wang的结果（要求 $f = |z|^2 + o(|z|^2)$）推广到完整的双侧二次界。
• 引入一个涉及协变导数的新不变量 $D$，并利用它在 $D$ 的逐点有界条件下建立第二个Liouville定理。

提出的方法

• 通过线性变换 $\dot{f} = f/C^2$，$\dot{z} = z/C$ 进行缩放，归一化问题并分析无穷远处的行为。
• 应用Chen、Li与Sheng（2013）的梯度估计，将 $\|\nabla \dot{f}\|_{\dot{f}}^2 / (1 + \dot{f})^2$ 控制在里奇曲率有界范围内。
• 定义量 $T = \sum f^{i\bar j} g_{i\bar j}$，其中 $g_{i\bar j}$ 为欧氏度量，并利用最大值原理技术证明其一致有界。
• 使用加权函数 $\mathbf{F} = \exp(-b/(b-f)) \cdot \|\nabla f\|_f^2 / (1+f)^2$ 控制梯度，并推导出子水平集边界处测地距离的下界。
• 证明在生长与完备性假设下，度量 $\omega_f$ 是完备的，从而可应用推论1.3。
• 在修改后的量 $S = \sum |f_{i\bar j}|^2$ 上使用最大值原理，证明 $S \equiv 0$，意味着所有二阶导数为常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{C}^n$ 上，光滑拟凸解 $f$ 满足 $\det(f_{i\bar j}) = 1$，且满足 $C^{-1}(1+|z|^2) \leq f \leq C(1+|z|^2)$ 以及完备度量 $\omega_f$，其混合二阶导数 $f_{i\bar j}$ 是否必为常数？
• RQ2 能否在不需 $f = |z|^2 + o(|z|^2)$ 的条件下，仅基于双侧二次增长界建立 $\det(f_{i\bar j}) = 1$ 的Liouville定理？
• RQ3 不变量 $D = \sum f^{i\bar k} f^{j\bar l} f_{,ij} f_{,\bar k\bar l}$ 满足 $D \leq C(1+f)^2$ 是否足以迫使 $f$ 仿射等价于二次多项式？
• RQ4 在无穷远处满足 $f \geq \varepsilon |z|^2$ 的增长条件，结合度量完备性，是否意味着 $f$ 为二次型？
• RQ5 能否从增长条件与 $D$-有界性推出 $\omega_f$ 的完备性，从而可应用已有结果？

主要发现

• 在定理1.2的假设下——即 $f$ 在无穷远处满足 $f \geq \varepsilon |z|^2$ 且 $\omega_f$ 完备——所有混合二阶导数 $f_{i\bar j}$ 均为常数。
• 推论1.3表明：若 $f$ 满足 $C^{-1}|z|^2 \leq f \leq C|z|^2$ 且 $\omega_f$ 完备，则 $f$ 仿射等价于一个二次多项式。
• 定理1.4表明：若 $f$ 定义在 $\mathbb{C}^n$ 上，满足二次增长界，且 $D \leq C(1+f)^2$，则 $f$ 仿射等价于一个二次多项式。
• 定理1.4的证明表明，$D$-有界性蕴含 $\omega_f$ 完备，从而可归约为推论1.3。
• 缩放论证结合在 $S = \sum |f_{i\bar j}|^2$ 上的最大值原理，若 $S$ 非零则导致矛盾，从而证明 $S \equiv 0$。
• 在子水平集上一致导出梯度估计 $\|\nabla f\|_f^2 / (1+f)^2 \leq \mathsf{C}_9$，这意味着到 $S_f(0,b)$ 边界的测地距离以 $\log b$ 的速度增长，故 $\omega_f$ 完备。