[论文解读] A Majority Lemma for Randomised Query Complexity

Joshua Brody, Jae Tak Kim+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文建立了关于 k 个函数的异或（XOR）的随机化查询复杂度的强直接和定理，证明了计算 XOR ◦g 的复杂度随 k 线性增长，与朴素的成功概率放大界限一致。该研究解决了 Blais 和 Brody 提出的猜想，并回答了 Ben-David 等人提出的一个开放问题，构造出一个总函数 g，使得 Rε(XOR ◦g) = Θ(k log k · R(g))。

ABSTRACT

We study hardness amplification in the context of two well-known "moderate" average-case hardness results for AC⁰ circuits. First, we investigate the extent to which AC⁰ circuits of depth d can approximate AC⁰ circuits of some larger depth d + k. The case k = 1 is resolved by Håstad, Rossman, Servedio, and Tan’s celebrated average-case depth hierarchy theorem (JACM 2017). Our contribution is a significantly stronger correlation bound when k ≥ 3. Specifically, we show that there exists a linear-size AC⁰_{d + k} circuit h : {0, 1}ⁿ → {0, 1} such that for every AC⁰_d circuit g, either g has size exp(n^{Ω(1/d)}), or else g agrees with h on at most a (1/2 + ε)-fraction of inputs where ε = exp(-(1/d) ⋅ Ω(log n)^{k-1}). For comparison, Håstad, Rossman, Servedio, and Tan’s result has ε = n^{-Θ(1/d)}. Second, we consider the majority function. It is well known that the majority function is moderately hard for AC⁰ circuits (and stronger classes). Our contribution is a stronger correlation bound for the XOR of t copies of the n-bit majority function, denoted MAJ_n^{⊕ t}. We show that if g is an AC⁰_d circuit of size S, then g agrees with MAJ_n^{⊕ t} on at most a (1/2 + ε)-fraction of inputs, where ε = (O(log S)^{d - 1} / √n)^t. To prove these results, we develop a hardness amplification technique that is tailored to a specific type of circuit lower bound proof. In particular, one way to show that a function h is moderately hard for AC⁰ circuits is to (a) design some distribution over random restrictions or random projections, (b) show that AC⁰ circuits simplify to shallow decision trees under these restrictions/projections, and finally (c) show that after applying the restriction/projection, h is moderately hard for shallow decision trees with respect to an appropriate distribution. We show that (roughly speaking) if h can be proven to be moderately hard by a proof with that structure, then XORing multiple copies of h amplifies its hardness. Our analysis involves a new kind of XOR lemma for decision trees, which might be of independent interest.

研究动机与目标

• 建立异或函数随机化查询复杂度的强直接和定理。
• 解决 Blais 和 Brody 关于 XOR ◦g 复杂度的猜想 1。
• 回答 Ben-David 等人关于存在总函数 g 满足 Rε(XOR ◦g) = Ω(k log k · R(g)) 的开放问题 1。
• 使用概率和信息论技术，证明 XOR ◦g 的分布强直接和结果。
• 证明朴素的成功概率放大策略在计算 k 个 g 实例的异或时渐近最优。

提出的方法

• 证明分布强直接和引理：Dμkδ,ε(XOR ◦g) = Ω(k Dμδ′,ε′(g))，其中 δ′ = Θ(1)，ε′ = Θ(ε/k)。
• 使用混合论证和输入分布上的概率分析，将 k 个输入上随机算法的成功率与单个函数查询联系起来。
• 应用马尔可夫不等式和条件概率界，控制分析中的中止和错误概率。
• 引入一个修改后的算法 A′，其在 k 个输入上模拟原始算法 A，但在特定失败条件下中止，以控制错误和中止率。
• 采用基于叶节点的分析方法，根据正确性和输入间的一致性将叶节点分类为“良好”或“不良”。
• 利用标准的成功概率放大技术，将 Rε/k(g) 与 R12ε′/k(g) 关联，完成渐近界。

实验结果

研究问题

• RQ1 XOR ◦g 的随机化查询复杂度是否随 k 线性增长，与朴素的成功概率放大策略一致？
• RQ2 能否在随机化查询复杂度模型中为异或函数建立强直接和定理？
• RQ3 是否存在一个总函数 g，使得 Rε(XOR ◦g) = Ω(k log k · R(g))？
• RQ4 XOR ◦g 的分布复杂度是否以紧致方式下界约束最坏情况复杂度？
• RQ5 能否使用分布查询复杂度和概率叶节点分析证明强直接和定理？

主要发现

• 本文证明了 Rε(XOR ◦g) = Ω(k Rε/k(g))，证实了 Blais 和 Brody 的一个猜想。
• 在随机化查询复杂度模型中建立了异或函数的强直接和定理。
• 构造了一个总函数 g，使得 Rε(XOR ◦g) = Ω(k log k · R(g))，回答了 Ben-David 等人提出的开放问题。
• 证明依赖于一个分布强直接和引理：Dμkδ,ε(XOR ◦g) = Ω(k Dμδ′,ε′(g))，其中 δ′ = Θ(1)，ε′ = Θ(ε/k)。
• 分析使用了对叶节点行为和中止概率的概率界，推导出最终的复杂度界。
• 结果表明，朴素的成功概率放大策略在计算 k 个 g 实例的异或时渐近最优。