[论文解读] A Martingale Approach for Fractional Brownian Motions and Related Path Dependent PDEs

Frédéri Viens, Jianfeng Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通过引入一个马氏过程辅助过程 Θ，克服时间不一致性与非半鞅性质，为伏特拉型过程（如分数布朗运动）发展了一套函数型伊藤微积分。其主要贡献在于提出了一套路径依赖的偏微分方程（PDE）框架，将杜普雷的函数型伊藤微积分扩展至非马氏、非半鞅设定，从而实现粗糙波动率模型中条件期望计算与期权定价。

ABSTRACT

In this paper we study dynamic backward problems, with the computation of conditional expectations as a main objective, in a framework where the (forward) state process satisfies a Volterra type SDE, with fractional Brownian motion as a typical example. Such processes are neither Markov processes nor semimartingales, and most notably, they feature a certain time inconsistency which makes any direct application of Markovian ideas, such as flow properties, impossible without passing to a path-dependent framework. Our main result is a functional Itô formula, extending the seminal work of Dupire \cite{Dupire} to our more general framework. In particular, unlike in \cite{Dupire} where one needs only to consider the stopped paths, here we need to concatenate the observed path up to the current time with a certain smooth observable curve derived from the distribution of the future paths. This new feature is due to the time inconsistency involved in this paper. We then derive the path dependent PDEs for the backward problems. Finally, an application to option pricing in a financial market with rough volatility is presented.

研究动机与目标

• 解决如分数布朗运动等非马氏、非半鞅过程的条件期望计算挑战。
• 克服伏特拉型SDE中因时间不一致性和缺乏流性质而导致标准PDE与马氏方法失效的问题。
• 通过引入马氏辅助过程 Θ，将杜普雷的函数型伊藤微积分扩展至非半鞅过程。
• 推导并求解依赖于路径的PDE，用于在状态过程依赖于其整个历史的框架中处理逆向问题。
• 实现对具有粗糙波动率的金融模型（如粗糙伯格米模型）中期权定价与对冲的应用。

提出的方法

• 引入一个辅助过程 Θ，定义为 Θₛᵗ = ∫₀ᵗ K(s,r) dWᵣ，该过程对固定的 s 是 t 的局部鞅，以恢复半鞅性质。
• 利用正交分解 Xₛ = Θₛᵗ + (Xₛ − Θₛᵗ)，将依赖于过去的部分与依赖于未来的条件部分分离。
• 将条件期望重述为 Yₜ = u(t, X[₀,ₜ) ⊗ Θᵗ[ₜ,ₜ])，其中 u 同时依赖于观测到的路径与由未来路径分布导出的平滑未来路径可观测量。
• 推导出一种新型函数型伊藤公式，以同时考虑当前路径与未来路径可观测量的路径依赖性，从而扩展杜普雷的框架。
• 通过利用 Θ 的局部鞅性质与过程的时间不一致结构，建立函数 u 的路径依赖PDE（PPDE）。
• 将该框架应用于粗糙伯格米模型，表明所扩展的微积分可实现条件期望与粗糙波动率模型中的期权定价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将函数型伊藤微积分扩展至如分数布朗运动等非半鞅、非马氏过程？
• RQ2 在时间不一致的过程中，需要何种辅助结构以恢复某种马氏或流性质？
• RQ3 当状态过程缺乏半鞅或马氏性质时，如何在路径依赖框架中表示条件期望？
• RQ4 伏特拉型过程（具有记忆性）的杜普雷函数型伊藤公式应如何正确推广？
• RQ5 所提出的框架能否应用于具有粗糙波动率的金融模型（如粗糙伯格米模型）中的期权定价？

主要发现

• 本文提出了一种新颖的函数型伊藤公式，通过辅助局部鞅过程 Θ 引入未来路径可观测量，将杜普雷框架扩展至非半鞅过程。
• 逆向问题的解被表示为当前路径 X[₀,ₜ) 与未来路径可观测量 Θᵗ[ₜ,ₜ] 的函数，从而实现了广义形式的路径依赖PDE。
• 该方法通过联合过程 (X, Θ) 有效恢复了一定形式的流性质，使得尽管原始过程存在时间不一致性，仍可基于PDE进行分析。
• 该框架被应用于粗糙伯格米模型，结果表明由于波动率漂移的指数增长，底层过程可能导致严格局部鞅。
• 对于 ρ = 0 且 H = 1/2 的粗糙伯格米模型，本文证明当 p > 1 时 E[Sₜᵖ] = ∞，表明高于1阶的矩不存在。
• 本文表明，当收益函数 g 具有线性增长时，变换函数 ̂g(x) = g(eˣ) 呈指数增长，违反标准PDE方法所要求的可积性条件，凸显了所提框架的必要性。