[论文解读] A minicourse on entropy theory on the interval

Jérôme Buzzi|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 52被引用 4

一句话总结

本课程简明而深入地介绍了使用遍历理论研究分段单调区间映射的熵理论，重点聚焦于最大熵测度、周期点和符号动力系统。课程运用霍布劳尔的马尔可夫图、追踪性质以及强正递归马尔可夫移位等工具，建立了熵及其不变测度的连续性、单调性与分类结果。

ABSTRACT

We give a survey of the entropy theory of interval maps as it can be analyzed using ergodic theory, especially measures of maximum entropy and periodic points. The main tools are (i) a version of Hofbauer's Markov diagram, (ii) the shadowing property and the implied entropy bound and weak rank one property, (iii) strongly positively recurrent countable state Markov shifts. Proofs are given for selected results. This article is based on the lectures given at the Ecole thematique de theorie ergodique at the C.I.R.M., Marseilles, in April 2006.

研究动机与目标

• 提供一份自包含且易于理解的分段单调区间映射熵理论综述，基于遍历理论。
• 分析最大化熵测度的结构及其与周期轨道的关系。
• 将有限状态马尔可夫移位的工具扩展至可数状态系统，特别是强正递归马尔可夫移位。
• 建立拓扑熵作为映射函数的连续性与单调性性质。
• 应用符号动力系统与Kneading理论，计算与估计区间映射的熵。

提出的方法

• 利用霍布劳尔的马尔可夫图，将分段单调映射的动力系统表示为可数状态马尔可夫移位。
• 应用追踪性质以界定熵，并为非马尔可夫系统建立弱秩一结构。
• 运用变分原理，通过不变测度将拓扑熵与度量熵联系起来。
• 使用Kneading不变量与Lap数，组合与几何地计算拓扑熵。
• 应用Artin-Mazur zeta函数研究周期轨道的增长与向最大熵测度的等分布性。
• 利用强正递归马尔可夫移位理论，对具有有限多个最大熵测度的系统进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用符号动力系统与Kneading不变量计算分段单调区间映射的拓扑熵？
• RQ2 分段单调区间映射中最大化熵的测度具有何种结构？此类测度存在多少个？
• RQ3 周期轨道如何相对于最大熵测度实现等分布？Artin-Mazur zeta函数在此过程中起什么作用？
• RQ4 在区间映射空间上，何种条件可保证熵函数的连续性与单调性？
• RQ5 如何利用可数状态马尔可夫移位理论（特别是强正递归情形）分析非马尔可夫区间动力系统？

主要发现

• 分段单调映射的拓扑熵可通过Kneading不变量与Lap数计算，且熵不超过Lap数减一。
• Artin-Mazur zeta函数在 |z| < e^{-h_top} 上全纯，并可解析延拓至 |z| < 1，反映出周期轨道的指数增长。
• 周期轨道相对于最大熵测度实现等分布：周期为n的周期点的Dirac测度的归一化和弱收敛于最大熵测度的凸组合。
• 在一般位置假设下，最大熵测度为有限多个，且可至多通过周期扩展为Bernoulli扩展。
• 熵函数在分段单调映射空间的拓扑下连续且单调。
• 弱秩一性质与追踪性质使得有限状态马尔可夫移位技术可推广至非马尔可夫系统，从而实现熵的估计与结构分析。