[论文解读] A model category structure on the category of simplicial categories

Julia E. Bergner|ArXiv.org|Jun 24, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 6

一句话总结

本文在小单纯范畴的范畴上建立了纤维生成的模型范畴结构，其中弱等价为DK-等价（在映射空间上诱导弱等价，并在同伦范畴上诱导等价），纤维化为满足同伦提升条件的逐级纤维化，余纤维化由左提升性质定义。主要贡献在于更正了一组生成的可去余纤维化，修正了Dwyer、Hirschhorn和Kan早期提出的模型结构中的一个错误。

ABSTRACT

In this paper we put a cofibrantly generated model category structure on the category of small simplicial categories. The weak equivalences are a simplicial analogue of the notion of equivalence of categories.

研究动机与目标

• 修正Dwyer、Hirschhorn和Kan先前提出的单纯范畴上的模型范畴结构中的缺陷，其中某些生成的可去余纤维化并非真正的弱等价。
• 在小单纯范畴的范畴上定义一个正确的纤维生成的模型范畴结构，其中弱等价为DK-等价。
• 为通过Quillen等价性研究同伦理论的同伦理论奠定基础，与其它模型结构建立联系。
• 确保该模型结构与高阶范畴理论及同调代数几何兼容，如Toën和Vezzosi所使用的。
• 构建单纯范畴的模型范畴与其他已知的同伦理论模型范畴之间的良好行为的Quillen等价。

提出的方法

• 将弱等价定义为在所有映射空间上诱导弱等价、并在同伦范畴上诱导等价的函子（即映射空间的π₀上的等价）。
• 将纤维化定义为在映射空间上逐级纤维化的函子，并满足同伦等价的同伦提升条件。
• 将余纤维化定义为相对于可去纤维化（即同时为纤维化和弱等价的映射）具有左提升性质的态射。
• 通过一个超限复合过程构建因式分解系统，以消除从球面到映射空间的非平凡同伦类的映射。
• 利用引理4.2，通过将映射空间替换为在给定维数内弱收缩的单纯集，实现映射的因式分解，确保所得范畴是自由且余纤维的。
• 利用单纯集若具有可数多个单体，则从球面到其的同伦类至多可数这一事实，确保超限构造以良好定义的方式终止。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在小单纯范畴的范畴上构造一个纤维生成的模型范畴结构，其中弱等价为DK-等价？
• RQ2 确保模型结构满足公理（特别是提升性质）的正确生成可去余纤维化集合是什么？
• RQ3 如何解决Dwyer、Hirschhorn和Kan早期模型结构中的错误，即某些提出的可去余纤维化并非弱等价？
• RQ4 该模型范畴是否与其它已知的同伦理论模型范畴Quillen等价？
• RQ5 该构造能否通过将单纯集替换为拓扑空间，推广到拓扑范畴？

主要发现

• 在小单纯范畴的范畴上存在一个纤维生成的模型范畴结构，其中弱等价定义为DK-等价。
• 生成的可去余纤维化被显式构造并验证为弱等价，修正了早期模型结构中的错误。
• 纤维化被表征为在映射空间上逐级纤维化，并满足同伦等价的同伦提升条件。
• 余纤维化被表征为相对于可去纤维化具有左提升性质，确保模型结构满足Quillen公理。
• 该构造涉及一个超限过程，以消除所有从球面到映射空间的非平凡同伦类的映射，最终得到一个自由单纯范畴。
• 所得模型结构与另外三个已知的同伦理论范畴模型结构Quillen等价，如作者后续工作中所示。