[论文解读] Model $\infty$-categories I: some pleasant properties of the $\infty$-category of simplicial spaces

Aaron Mazel-Gee|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 43被引用 8

一句话总结

本文在单纯空间的∞-范畴上引入了一个恰当的、由可数生成的模型结构，其对应于单纯集上的Kan–Quillen模型结构。它证明了几何实现在该设定下保持弱等价与同伦拉梅，从而使得可以通过对生成协纤维的上提性质，实现对弱等价与同伦拉梅的∞-范畴判别准则。

ABSTRACT

Both simplicial sets and simplicial spaces are used pervasively in homotopy theory as presentations of spaces, where in both cases we extract the "underlying space" by taking geometric realization. We have a good handle on the category of simplicial sets in this capacity; this is due to the existence of a suitable model structure thereon, which is particularly convenient to work with since it enjoys the technical properties of being *proper* and of being *cofibrantly generated*. This paper is devoted to showing that, if one is willing to work $\infty$-categorically, then one can manipulate simplicial spaces exactly as one manipulates simplicial sets. Precisely, this takes the form of a proper, cofibrantly generated model structure on the *$\infty$-category* of simplicial spaces, the definition of which we also introduce here.

研究动机与目标

• 开发一个利用∞-范畴模型理论研究单纯空间∞-范畴的框架。
• 在单纯空间的∞-范畴上定义一个恰当且由可数生成的Kan–Quillen模型结构。
• 提供在几何实现阶段之后成为弱等价的映射的∞-范畴判别准则。
• 确立在何种条件下同伦拉梅在几何实现阶段下保持不变。
• 通过利用∞-范畴工具与上提性质，扩展单纯空间在同伦论中的应用。

提出的方法

• 引入模型∞-范畴的概念，作为在弱等价子范畴上局部化∞-范畴的框架。
• 通过生成协纤维 $I_{KQ}$ 与可逆协纤维 $J_{KQ}$ 定义单纯空间∞-范畴上的Kan–Quillen模型结构，其对应于边界包含与锥面包含。
• 应用由可数生成的模型∞-范畴理论，证明所得模型结构是恰当且由可数生成的。
• 利用Ex∞函子与纤维性准则，在∞-范畴设定下分析纤维与弱等价。
• 在模型∞-范畴中同伦（共）极限的一般理论基础上，比较图与它们的几何实现阶段。
• 利用∞-范畴的上提性质，通过对生成协纤维的右上提，刻画弱等价与同伦拉梅。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种∞-范畴条件下，单纯空间的映射在几何实现阶段后成为弱等价？
• RQ2 在何种条件下，单纯空间的同伦拉梅在几何实现阶段后仍保持为同伦拉梅？
• RQ3 能否自然地将单纯集上的Kan–Quillen模型结构扩展到单纯空间的∞-范畴上，并保持类似性质？
• RQ4 如何利用∞-范畴的上提性质检测单纯空间∞-范畴中的弱等价与纤维？
• RQ5 Ex∞函子在刻画单纯空间∞-范畴模型结构中的纤维对象与弱等价中起什么作用？

主要发现

• 单纯空间的∞-范畴配备了一个恰当且由可数生成的模型结构，其弱等价恰好是那些在几何实现阶段后成为弱等价的映射。
• 一个单纯空间的映射是可逆纤维当且仅当它对生成协纤维集合 $I_{KQ}$ 具有右上提性质，该集合对应于边界包含 $\partial\Delta^n \to \Delta^n$。
• 该模型结构是右恰当的，因此任何涉及纤维的拉梅都是同伦拉梅，且此类拉梅在几何实现阶段下被保持。
• 几何实现阶段函子 $|{-}|: \mathrm{sS} \to \mathrm{S}$ 关于此模型结构是左Quillen函子，并在同伦范畴上诱导一个等价。
• 模型∞-范畴理论允许系统比较单纯空间中图的同伦（共）极限与其几何实现阶段。
• Ex∞函子提供了一个保持弱等价的纤维化替换函子，并用于刻画模型∞-范畴中的纤维对象。