[论文解读] A model for complex analytic equivariant elliptic cohomology from quantum field theory

Daniel Berwick-Evans, Arnav Tripathy|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 68被引用 5

一句话总结

本文通过二维 $\nabla=(0,1)$ 超对称量子场论与背景规范场及自由费米子，构建了复解析等变椭圆上同调的几何模型。它将自由费米子在表示中的路径积分定义为等变椭圆欧拉类，并表明 $U(1)$-规范场的模堆叠携带与全息对偶椭圆曲线复解析结构相容的乘法结构，从而在物理上实现了椭圆群律。

ABSTRACT

We construct a global geometric model for complex analytic equivariant elliptic cohomology for all compact Lie groups. Cocycles are specified by functions on the space of fields of the two-dimensional sigma model with background gauge fields and $\mathcal{N} = (0, 1)$ supersymmetry. We also consider a theory of free fermions valued in a representation whose partition function is a section of a determinant line bundle. We identify this section with a cocycle representative of the (twisted) equivariant elliptic Euler class of the representation. Finally, we show that the moduli stack of $U(1)$-gauge fields carries a multiplication compatible with the complex analytic group structure on the universal (dual) elliptic curve, with the Euler class providing a choice of coordinate. This provides a physical manifestation of the elliptic group law central to the homotopy-theoretic construction of elliptic cohomology.

研究动机与目标

• 为所有紧致李群构建复解析等变椭圆上同调的全局几何模型。
• 将表示值自由费米子理论的路径积分解释为等变椭圆欧拉类的上同调类代表。
• 在 $U(1)$-规范场的模堆叠中，提供与全息（对偶）椭圆曲线复解析结构相容的椭圆群律的物理实现。
• 通过量子场论建立同伦论椭圆上同调构造的物理表现。

提出的方法

• 等变椭圆上同调中的上同调类被定义为具有 $\nabla=(0,1)$ 超对称性和背景规范场的二维 $\sigma$-模型的场空间上的函数。
• 表示值自由费米子理论的路径积分被识别为行列式线丛的一个截面，代表（扭）等变椭圆欧拉类的上同调类。
• 证明了 $U(1)$-规范场的模堆叠携带与全息（对偶）椭圆曲线复解析群律相容的乘法结构。
• 通过 $SL_2(\mathbb{Z})$-作用下的限制映射与李代数缩放，对上同调类施加解析性条件，确保与椭圆曲线复结构的相容性。
• 在模堆叠 $\widehat{\rm Bun}_G(E)$ 上构造了一个微分分次代数层，其截面在扭扇区上定义，并满足不变性与解析性条件。
• 该构造结合了 $\pi_0(G)$-与 $SL_2(\mathbb{Z})$-等变性，通过 $\beta$ 和李代数对偶的缩放，确保变换相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用量子场论构建复解析等变椭圆上同调的几何模型？
• RQ2 表示值自由费米子理论的路径积分能否被解释为等变椭圆欧拉类上同调类的代表？
• RQ3 $U(1)$-规范场的模堆叠是否携带与全息（对偶）椭圆曲线复解析结构相容的乘法结构？
• RQ4 在该框架中，同伦论椭圆上同调的核心——椭圆群律——如何被物理地实现？

主要发现

• 本文通过二维 $\nabla=(0,1)$ 超对称量子场论，为所有紧致李群构建了复解析等变椭圆上同调的全局几何模型。
• 证明了表示值自由费米子理论的路径积分代表了（扭）等变椭圆欧拉类的上同调类。
• $U(1)$-规范场的模堆叠携带与全息（对偶）椭圆曲线复解析群结构相容的乘法结构。
• 欧拉类在模堆叠上提供了坐标系的自然选择，从而在物理设定中实现了椭圆群律。
• 该构造满足 $SL_2(\mathbb{Z}) \times \pi_0(G)$-等变性，通过 $\beta$ 和李代数对偶的缩放确保变换相容性。
• 证明了 $\widehat{\rm Bun}_G(E)$ 上微分形式的层是定义良好的 $\mathcal{O}$-模，其截面在 $G_0$-作用与 $SL_2(\mathbb{Z})$-作用下满足不变性与解析性。