[论文解读] Perturbative sigma models, elliptic cohomology and the Witten genus

Daniel Berwick-Evans|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 25被引用 9

一句话总结

本文通过微扰的 2|1 维超欧几里得量子场论，构建了具有复系数的椭圆上同调的微分上循环模型。它利用分析方法和微扰第二量化，将威滕指标（Witten genus）实现为经典真空模空间上某线丛的全纯截面，从而将二维量子场论与张量积 ℂ 的拓扑模形式（TMF⊗ℂ）联系起来。

ABSTRACT

We provide a differential cocycle model for elliptic cohomology with complex coefficients and use analytic methods to construct a cocycle representative for the Witten class in this language. Our motivation stems from the conjectural connection between 2-dimensional field theories and elliptic cohomology originally due to G. Segal and E. Witten. The specifics of our constructions are informed by the work of S. Stolz and P. Teichner on super Euclidean field theories and K. Costello's construction of the Witten genus using perturbative quantization. As a warm-up, we prove analogous results for supersymmetric quantum mechanics and K-theory with complex coefficients.

研究动机与目标

• 通过 2|1 维超欧几里得量子场论，建立具有复系数的椭圆上同调的微分上循环模型。
• 利用分析方法和微扰第二量化，在该模型中构造威滕类的代表元。
• 将 1|1 维情形（其中微扰第二量化通过阿蒂亚-辛格指标定理给出 Â-类）推广至 2|1 维情形。
• 将威滕指标识别为 2|1-σ 模型的经典真空堆栈上某线丛的全纯截面。
• 通过由威滕类和经典真空堆栈上的体积形式构造的指标映射，提供 TMF⊗ℂ 中反向映射的几何实现。

提出的方法

• 本文构造了经典真空的超堆栈 Φ₀²|¹(X)——即从 2|1 维环面到流形 X 的映射，且因子化通过 ℝ⁰|¹——代表了超对称 σ 模型的零能解。
• 在 Φ₀²|¹(X) 上定义了一个线丛 ω¹/²，其全纯截面对应于弱模形式，张量幂则编码了更高权的模形式。
• 利用 X 上的黎曼结构，本文在 Φ₀²|¹(X) 上构造了一族运动算子 ΔX²|¹，这些算子是包含 Levi-Civita 连接曲率 2-形式的拉普拉斯算子的形变。
• ΔX²|¹ 的纤维上 ζ-行列式在 Φ₀²|¹(X) 上定义了一个函数，但其在反全纯缩放下不保持不变；通过有理数的弦结构对此进行修正，从而得到一个良定义的微分上循环。
• 修正后的行列式在 Φ₀²|¹(X) 上给出 ωᵏ/² 的一个全纯截面，该截面被识别为 X 的威滕类。
• 通过将体积形式与威滕类及总相对体积的逆相乘后进行积分，构造了一个指标映射，其取值为权发生偏移的模形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 2|1 维超欧几里得量子场论和经典真空，构建 TMF⊗ℂ 的微分上循环模型？
• RQ2 威滕指标在 2|1-σ 模型的微扰第二量化下的分析实现是什么？
• RQ3 微扰的 2|1-σ 模型如何将威滕指标实现为经典真空堆栈上某线丛的全纯截面？
• RQ4 有理数弦结构在修正 ζ-行列式以得到威滕类的良定义上循环代表中起什么作用？
• RQ5 由此构造的 ωᵏ/² 上截面的指标映射如何与 TMF⊗ℂ 中的反向映射相关联？

主要发现

• Φ₀²|¹(X) 上 ωᵏ/² 的全纯截面层同构于取值于弱模形式的闭微分形式层，从而实现了 TMF⊗ℂ 的微分上循环模型。
• 流形 X 的威滕类被实现为 Φ₀²|¹(X) 上 ωᵏ/² 的全纯截面，该截面通过有理数弦结构修正 ΔX²|¹ 的 ζ-行列式而构造。
• 经典真空堆栈 Φ₀²|¹(X) 相对于由威滕类缩放的体积形式的总相对体积等于 X 的威滕指标。
• 通过体积形式与威滕类的积分构造的指标映射被识别为 TMF⊗ℂ 中的反向映射，与局部指标定理一致。
• 该构造将 1|1 维情形（其中微扰第二量化通过阿蒂亚-辛格指标定理给出 Â-类）推广至 2|1 维情形，其中威滕指标是更高阶的类比。
• Φ₀²|¹(X) 上 ωᵏ/² 的全纯截面形成一个同构于 ⊕ᵢⱼ Ωᵢᶜˡ(−)⊗MFʲ 的层，从而在 Hopkins–Singer 意义下确认了 TMF⊗ℂ 的微分上循环模型。