[论文解读] A model structure on the category of diffeological spaces

Tadayuki Haraguchi, Kazuhisa Shimakawa|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文通過將光滑弱同倫等價定義為弱同倫等價，建立了微分空間類別上的Quillen模型結構，並證明其與拓撲空間上的標準模型結構Quillen等價。主要貢獻在於表明微分空間可支援與拓撲空間等價的同倫理論，但某些空間——如無理 тор——由於光滑同倫群與連續同倫群不同構，不具有拓撲空間的光滑同倫型。

ABSTRACT

We construct a model category structure on the category of diffeological spaces which is Quillen equivalent to the model structure on the category of topological spaces based on the notions of Serre fibrations and weak homotopy equivalences.

研究动机与目标

• 透過構造Quillen模型結構，為微分空間發展同倫理論。
• 證明此模型結構與拓撲空間上的標準Quillen模型結構Quillen等價。
• 研究所有微分空間是否都具有與拓撲空間相同的光滑同倫型。
• 釐清微分空間中光滑同倫群與連續同倫群之間的關係。
• 比較微分空間、數值生成空間與拓撲空間的模型結構。

提出的方法

• 定義光滑同倫群 πₙ(X, x₀) 為從 n-立方體 (Iⁿ, ∂Iⁿ) 到 (X, x₀) 的光滑映射的同倫類，並使用子集 Jⁿ⁻¹ 定義相對群。
• 透過在包含映射 Lⁿ⁻¹ → Iⁿ 上具有右提升性質，引入弱纖維化，其中 Lⁿ⁻¹ = ∂Iⁿ⁻¹ × I ∪ Iⁿ⁻¹ × {0}。
• 證明弱纖維化具有有限制的同倫延拓性質與覆蓋同倫延拓性質，以支援標準同倫工具。
• 直接透過驗證Quillen公理構造微分空間上的模型結構，因其非可生成。
• 透過單位映射 X → DTX，利用Whitney逼近定理，建立微分空間與拓撲空間模型範疇之間的Quillen等價。
• 比較微分空間、NG（數值生成空間）與拓撲空間的模型結構，顯示它們皆透過包含 T, D, ν 的鏈式伴隨關係形成Quillen等價。

实验结果

研究问题

• RQ1 微分空間的範疇是否允許以光滑弱同倫等價為弱同倫等價的Quillen模型結構？
• RQ2 此模型結構是否與拓撲空間上的標準Quillen模型結構Quillen等價？
• RQ3 是否存在光滑同倫群與連續同倫群不同的微分空間？
• RQ4 微分空間的光滑同倫型是否可能與某個拓撲空間的同倫型一致？
• RQ5 微分空間、數值生成空間與拓撲空間的模型結構之間有何關係？

主要发现

• 構造了微分空間類別上的Quillen模型結構，其中弱同倫等價定義為光滑弱同倫等價。
• 微分空間上的模型結構與拓撲空間上的標準Quillen模型結構Quillen等價。
• 無理 тор Tθ 的光滑基本群同構於 ℤ²，但其拓撲實現下的連續基本群為平凡，顯示其不具有拓撲空間的光滑同倫型。
• 自然映射 Tθ → DTTθ 不是弱同倫等價，確認其無法與拓撲空間光滑同倫等價。
• 微分空間、NG（數值生成空間）與拓撲空間的模型結構皆彼此Quillen等價，透過伴隨關係 T:Diff ⇄ NG 與 D:Top ⇄ STop 形成Quillen等價鏈。
• 核心化映射 ν:Top → NG 與包含映射 i:NG → Top 保持同倫，且NG上的模型結構為有限生成，並與拓撲空間上的模型結構Quillen等價。