[论文解读] A model structure on the category of small categories for coverings

Kohei Tanaka|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文在小范畴范畴上建立了一个模型结构——称为1-型模型结构——其中纤维对象为群胚，纤维化替换对应于群胚化。它表明小范畴中的覆盖恰好对应于具有离散纤维的纤维化，且普遍覆盖与群胚化均源于此模型结构中的函子性分解，通过与单纯集和拓扑空间的Quillen等价性，将范畴论覆盖与同伦论联系起来。

ABSTRACT

We define a new model structure on the category of small categories, which is intimately related to the notion of coverings and fundamental groups of small categories. Fibrant objects in the model structure coincide with groupoids, and the fibrant replacement is the groupoidification.

研究动机与目标

• 定义小范畴范畴上的模型结构，以捕捉覆盖的同伦论行为。
• 证明在此模型结构中，纤维对象恰好为群胚，且纤维化替换对应于群胚化。
• 将小范畴中的覆盖表征为具有离散纤维的纤维化，建立覆盖空间理论的范畴类比。
• 证明普遍覆盖与群胚化函子自然地源于模型结构中的函子性分解。
• 在小范畴上的1-型模型结构与单纯集和拓扑空间上的相应模型结构之间建立Quillen等价性。

提出的方法

• 将小范畴上的1-型模型结构构造为Joyal-Tierney模型结构的左Bousfield局部化。
• 将弱等价定义为弱1-等价，单射对象的函子为余纤维化，纤维化与余纤维化均为群胚的函子为纤维化。
• 利用神经函子N与分类函子c，将小范畴上的模型结构与单纯集和拓扑空间上的模型结构联系起来。
• 证明函子对(c, N)在小范畴上的1-型模型结构与单纯集上的1-型模型结构之间构成Quillen等价。
• 证明对任意Kan复形X，其单位映射X → NcX为弱1-等价，利用cX在X为Kan复形时为群胚的事实。
• 利用函子性分解构造普遍覆盖，并将群胚化描述为模型范畴中的纤维化替换。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义小范畴上的模型结构，使得纤维对象为群胚，且纤维化替换对应于群胚化？
• RQ2 小范畴中的覆盖与1-型模型结构中的纤维化有何关系？
• RQ3 小范畴上的1-型模型结构与单纯集和拓扑空间上的1-型模型结构之间有何关系？
• RQ4 能否通过此模型结构中的函子性分解构造小范畴中的普遍覆盖？
• RQ5 当限制到1-型模型结构时，小范畴与单纯集之间的伴随是否构成Quillen等价？

主要发现

• 小范畴上的1-型模型结构是Joyal-Tierney模型结构的左Bousfield局部化，其中弱等价定义为弱1-等价。
• 1-型模型结构中的对象为纤维对象，当且仅当其为群胚，确认纤维化替换即为群胚化。
• 一个函子是Cat中的覆盖，当且仅当其为具有离散纤维的纤维化，从而为覆盖提供了同伦论表征。
• 小范畴中的普遍覆盖与群胚化函子均可通过模型结构中的函子性分解描述，从而将其与同伦论构造联系起来。
• 当限制到1-型模型结构时，单纯集与小范畴之间的伴随对(c, N)构成Quillen等价，从而在Cat₁与SSet₁之间建立了Quillen等价。
• 对任意Kan复形X，单位映射X → NcX为弱1-等价，此事实支撑了Cat₁与SSet₁之间的Quillen等价。