[论文解读] A monotone scheme for G-equations with application to the explicit convergence rate of robust central limit theorem

Shuo Huang, Gechun Liang|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用 8

一句话总结

本文提出了一种用于求解G-方程的单调数值格式——完全非线性偏微分方程，其来源于次线性期望空间，并建立了显式的收敛速率，具有类似Berry-Esseen的误差界。该方法首次实现了彭氏鲁棒中心极限定理的显式收敛速率，通过粘性解理论与光滑化技术，在一般模型假设下优于先前结果。

ABSTRACT

We propose a monotone approximation scheme for a class of fully nonlinear PDEs called G-equations. Such equations arise often in the characterization of G-distributed random variables in a sublinear expectation space. The proposed scheme is constructed recursively based on a piecewise constant approximation of the viscosity solution to the G-equation. We establish the convergence of the scheme and determine the convergence rate with an explicit error bound, using the comparison principles for both the scheme and the equation together with a mollification procedure. The first application is obtaining the convergence rate of Peng's robust central limit theorem with an explicit bound of Berry-Esseen type. The second application is an approximation scheme with its convergence rate for the Black-Scholes-Barenblatt equation.

研究动机与目标

• 开发一种在次线性期望空间中求解完全非线性G-方程的单调数值格式。
• 建立该格式与G-方程粘性解之间具有定量误差界的显式收敛速率。
• 将该格式应用于推导彭氏鲁棒中心极限定理的首个显式收敛速率，并给出类似Berry-Esseen的误差界。
• 将该方法扩展至近似Black-Scholes-Barenblatt方程，并进行收敛速率分析。
• 揭示粘性解数值格式与非线性概率中中心极限定理收敛分析之间的深层解析联系。

提出的方法

• 通过G-方程粘性解的分段常数逼近，构造一种递归单调格式。
• 利用该格式与PDE的比较原理，控制误差传播。
• 应用光滑化过程以正则化解，并推导显式误差界。
• 利用粘性解在G-分布下的期望表示：$ u(t,x) = \widetilde{\mathbb{E}}[\phi(x + \sqrt{t}\xi + t\zeta)] $。
• 通过泰勒展开与次线性期望性质推导相容性误差估计，控制涉及 $ D^3\psi, D^4\psi $ 的项。
• 结合稳定性和相容性，证明收敛速率为 $ O(\Delta^{\min\{\alpha/2, 1/6\}}) $，并给出显式常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种具有显式收敛速率与误差界的G-方程单调数值格式？
• RQ2 在一般模型假设下，彭氏鲁棒中心极限定理的显式收敛速率为何？
• RQ3 该数值格式的收敛速率与鲁棒中心极限定理中的收敛速率有何关联？
• RQ4 该方法能否扩展至近似Black-Scholes-Barenblatt方程，并进行收敛速率分析？
• RQ5 在次线性设定下，光滑化与比较原理在推导粘性解显式误差界中起何作用？

主要发现

• 单调格式以显式误差界 $ O(\Delta^{\min\{\alpha/2, 1/6\}}) $ 收敛于G-方程的粘性解。
• 在退化情形下，收敛速率 $ O(n^{-\beta/6}) $ 改进了克里洛夫的结果，其中 $ \frac{\beta^2}{4+2\beta} \leq \frac{\beta}{6} $。
• 在非退化情形下 $ \underline{\sigma}^2 > 0 $，收敛速率 $ O(n^{-\max\{\alpha/2, 1/6\}}) $ 改进了宋的结果 $ O(n^{-\alpha/2}) $。
• 首次为彭氏鲁棒中心极限定理推导出显式Berry-Esseen型误差界，且在一般模型假设下成立。
• 该方法建立了数值分析中粘性解与鲁棒中心极限定理收敛性之间全新的解析联系。
• 通过泰勒展开与次线性期望性质，建立了相容性误差估计 $ \mathcal{E}(\Delta,\psi) \leq C\Delta(|D^4\psi|_0 + |D^3\psi|_0 + |D^2\psi|_0) $。