[论文解读] A Narrow-stencil finite difference method for approximating viscosity solutions of fully nonlinear elliptic partial differential equations with applications to Hamilton-Jacobi-Bellman equations

Xiaobing Feng, Thomas Lewis|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的窄模板有限差分方法，用于近似求解完全非线性二阶椭圆PDE的粘性解，包括汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。通过引入一个数值矩——定义为两个中心Hessian逼近之差——该格式稳定了低正则性解，确保了适定性、ℓ²与ℓ∞范数下的稳定性，并通过离散比较原理实现收敛，即使在不依赖单调性的情况下亦成立。

ABSTRACT

This paper presents a new narrow-stencil finite difference method for approximating the viscosity solution of second order fully nonlinear elliptic partial differential equations including Hamilton-Jacobi-Bellman equations. The proposed finite difference method naturally extends the Lax-Friedrichs method for first order problems to second order problems by introducing a key stabilization and guiding term called a "numerical moment". The numerical moment uses the difference of two (central) Hessian approximations to resolve the potential low-regularity of viscosity solutions. It is proved that the proposed scheme is well posed (i.e, it has a unique solution) and stable in both the l-2 norm and the l-infinity norm. The highlight of the paper is to prove the convergence of the proposed scheme to the viscosity solution of the underlying fully nonlinear second order problem using a novel discrete comparison argument. This paper extends the one-dimensional analogous method of Feng, Kao, and Lewis to the higher-dimensional setting. Numerical tests are presented to gauge the performance of the proposed finite difference methods and to validate the convergence result of the paper.

研究动机与目标

• 开发一种适用于完全非线性二阶椭圆PDE（包括HJB方程）的收敛窄模板有限差分方法，适用于维度 d ≥ 2。
• 通过使窄模板方法不依赖单调性，克服宽模板格式的局限性。
• 将一维Lax-Friedrichs类方法从[14]推广至高维，解决非对角Hessian项带来的挑战。
• 通过一种新颖的离散比较论证，建立非单调格式的收敛性，从而绕过Barles-Souganidis框架。
• 在低正则性解及退化或非对角占优系数矩阵的问题上，对方法进行数值验证。

提出的方法

• 该方法引入一个数值矩作为稳定与引导项，定义为两个中心Hessian逼近之差。
• 数值矩作为高阶线性扰动，增强了窄模板上对低正则性解的分辨率。
• 在局部使用多个∇u与D²u的离散逼近，以捕捉固定网格上函数的行为，从而补偿窄模板的局限性。
• 该格式被构造为在ℓ²与ℓ∞范数下均适定且稳定，确保鲁棒的数值行为。
• 提出一种新的离散比较原理以证明收敛性，从而不再需要Barles-Souganidis框架中的单调性条件。
• 通过线法将该方法扩展至抛物型问题，从而可应用于时变HJB方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不依赖单调性的情况下，窄模板有限差分格式能否收敛至完全非线性二阶椭圆PDE的粘性解？
• RQ2 如何设计一个数值矩，以在高维有限差分格式中稳定低正则性解？
• RQ3 能否将离散比较原理推广至非单调格式，以确保收敛性？
• RQ4 对于具有非光滑或退化解的问题，所提格式的收敛速率是多少？
• RQ5 该方法能否应用于具有非对角占优或退化扩散矩阵的HJB方程？

主要发现

• 所提格式是适定的，具有唯一解，并在ℓ²与ℓ∞范数下均稳定。
• 该格式通过一种新颖的离散比较论证实现收敛至粘性解，即使在不依赖单调性的情况下亦成立。
• 在具有非对角占优扩散矩阵的问题上进行的数值测试显示，当 h = 2.89e-02 时，收敛阶数接近二阶（≈ 1.97）。
• 对于一个解属于 W^{4/3,p} 但不属于 C² 的退化椭圆问题，该方法实现了约 0.40 的收敛阶数，与解的低正则性一致。
• 该方法成功稳定了低正则性区域中的数值伪影，如在无穷Laplacian和非散度型线性PDE测试中所展示。
• 数值矩起到了低正则性指示器的作用，并使该方法在广泛类别的完全非线性和线性非散度型PDE中均表现出鲁棒性能。