[论文解读] The Vanishing Moment Method for Fully Nonlinear Second Order Partial Differential Equations: Formulation, Theory, and Numerical Analysis

Xiaobing Feng, Michael Neilan|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2011

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 59被引用 12

一句话总结

本文提出了一种新颖的数值方法——消失矩方法，用于求解完全非线性二阶偏微分方程（PDE），如Monge-Ampère方程、指定高斯曲率方程和无穷范数拉普拉斯方程。通过将原始PDE参数化为ε的四阶拟线性方程族进行正则化，该方法实现了稳定且可靠的有限元及混合有限元离散化，并在径向对称条件下证明了解的收敛性至粘性解，且通过数值实验验证了最优误差率。

ABSTRACT

The vanishing moment method was introduced by the authors in [37] as a reliable methodology for computing viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations (PDEs), in particular, using Galerkin-type numerical methods such as finite element methods, spectral methods, and discontinuous Galerkin methods, a task which has not been practicable in the past. The crux of the vanishing moment method is the simple idea of approximating a fully nonlinear second order PDE by a family (parametrized by a small parameter $\vepsi$) of quasilinear higher order (in particular, fourth order) PDEs. The primary objectives of this book are to present a detailed convergent analysis for the method in the radial symmetric case and to carry out a comprehensive finite element numerical analysis for the vanishing moment equations (i.e., the regularized fourth order PDEs). Abstract methodological and convergence analysis frameworks of conforming finite element methods and mixed finite element methods are first developed for fully nonlinear second order PDEs in general settings. The abstract frameworks are then applied to three prototypical nonlinear equations, namely, the Monge-Ampère equation, the equation of prescribed Gauss curvature, and the infinity-Laplacian equation. Numerical experiments are also presented for each problem to validate the theoretical error estimate results and to gauge the efficiency of the proposed numerical methods and the vanishing moment methodology.

研究动机与目标

• 开发一种可靠的数值框架，用于计算完全非线性二阶PDE的粘性解，这类方程长期以来难以被标准Galerkin方法处理。
• 在径向对称情形下，为消失矩方法建立严格的收敛性理论，确保正则化解在ε → 0时收敛至真实粘性解。
• 为一般完全非线性PDE开发抽象的有限元收敛框架——包括 conforming 和 mixed 两种形式，适用于Monge-Ampère和无穷范数拉普拉斯等典型方程。
• 通过针对三个基准非线性PDE的全面数值实验，验证理论误差估计并报告收敛速率。
• 探讨实际实现中的挑战，包括大规模模拟中非线性求解器与预条件策略的选择。

提出的方法

• 通过引入一个小参数ε，将完全非线性二阶PDE正则化为四阶拟线性PDE：εΔ²u + F(D²u, ∇u, u, x) = 0。
• 在F的适当结构假设下，证明正则化问题的解在ε → 0时收敛至原始PDE的粘性解。
• 为正则化的四阶方程构建 conforming 和 mixed 有限元方法，并对所得非线性代数系统应用牛顿法进行线性化。
• 采用多分辨率或同伦策略，从较大的ε开始逐步细化至更小的ε，以生成牛顿法的有效初始猜测。
• 在抽象框架下进行收敛性分析，推导出 conforming 和 mixed 有限元近似下的误差估计。
• 数值实验采用ILU预条件牛顿求解器，将收敛速率与理论预测进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 消失矩方法能否为完全非线性二阶PDE提供一种稳定且收敛的数值格式，且可使用标准Galerkin方法？
• RQ2 在径向对称情形下，消失矩方法的收敛速率是多少？其与粘性解正则性之间的依赖关系如何？
• RQ3 conforming 和 mixed 有限元方法在逼近正则化四阶PDE时表现如何？可建立怎样的误差界？
• RQ4 该方法能否推广至时间依赖或抛物型完全非线性PDE？此类推广面临的主要挑战是什么？
• RQ5 求解由该方法产生的大规模非线性系统时，最有效的非线性求解器与预条件策略是什么？

主要发现

• 消失矩方法成功地将完全非线性二阶PDE正则化为四阶拟线性方程，使得标准有限元方法得以应用。
• 在径向对称情形下，严格证明了正则化解收敛至原始PDE的粘性解，且在足够正则性条件下建立了收敛速率。
• 在Monge-Ampère和指定高斯曲率问题中，数值实验观测到 conforming 有限元方法的最优收敛率为O(h²)，mixed 有限元方法为O(h)。
• 该方法在三个典型方程上得到数值验证，计算收敛速率与理论预测一致。
• 用于生成初始猜测的多分辨率策略显著提升了牛顿法在实际应用中的收敛鲁棒性。
• 开放问题包括将收敛性理论推广至一般F、发展该方法用于抛物型完全非线性PDE，以及处理退化或非椭圆系统。