[论文解读] A new approach of couple fixed point results on JS-metric spaces

Tanusri Senapati, Lakshmi Kanta Dey|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文在 JS-度量空间中建立了新的耦合不动点定理，这是一种广义度量框架，包含标准度量空间、b-度量空间和无界度量空间。通过引入 $X^2$ 上新的 $D_+$-诱导度量，并应用常数 $k \in [0,1)$ 的压缩条件，作者在混合单调性和完备性假设下证明了耦合不动点的存在性与唯一性，且证明过程相较于以往方法更为简化。

ABSTRACT

In this article, we study coupled fixed point theorems in newly appeared JS-metric spaces. It is important to note that the class of JS-metric spaces includes standard metric space, dislocated metric space, b-metric space etc. The purpose of this paper is to present several coupled fixed point results in a more general way. Moreover, the techniques used in our proofs are indeed different from the comparable existing literature. Finally, we present a non- trivial example to validate our main result.

研究动机与目标

• 将标准度量空间中的耦合不动点结果推广至更一般的 JS-度量空间框架。
• 通过引入涉及 $k \in [0,1)$ 的压缩条件，推广 Bhaskar 和 Lakshmikantham 的耦合不动点定理。
• 在可比较性和有界性假设下，建立耦合不动点的唯一性条件。
• 通过利用 JS-度量空间相较于传统度量空间更弱的结构，简化证明过程。
• 提供一个非平凡的例子以验证主要理论结果。

提出的方法

• 通过定义 $X^2$ 上的新度量 $D_+$，即 $D_+((x,y),(u,v)) = D(x,u) + D(y,v)$，证明 $(X^2, D_+)$ 是一个 JS-度量空间。
• 使用压缩条件 $D_+(T_F(X), T_F(Y)) \leq k D_+(X,Y)$，其中 $k \in [0,1)$，以确保迭代序列的收敛性。
• 应用基于 $\limsup$ 的 JS-度量公理 (D3) 来控制极限行为，确保收敛至不动点。
• 从具有混合单调性的初始点出发，构造迭代序列 $(x_n, y_n)$，并证明其收敛至一个耦合不动点。
• 通过压缩映射原理和可比较或有界对的有界性假设，证明唯一性。
• 利用 $D_+$-度量分析迭代 $T_F^n(z^*)$ 同时收敛至 $w$ 和 $\tilde{z}$ 的过程，通过极限唯一性推导出二者相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将标准度量空间中的耦合不动点定理推广至包含 b-度量空间和无界度量空间的 JS-度量空间？
• RQ2 如何在 JS-度量设置下调整 Bhaskar 和 Lakshmikantham 的压缩条件，同时保持存在性与唯一性？
• RQ3 在元素可比较或有界时，哪些条件能确保 JS-度量空间中耦合不动点的唯一性？
• RQ4 在 $X^2$ 上使用 $D_+$-度量是否能保持收敛性和不动点存在性所需的拓扑性质？
• RQ5 在 JS-度量空间中，耦合不动点 $(\tilde{x}, \tilde{y})$ 满足 $\tilde{x} = \tilde{y}$ 的条件是什么？

主要发现

• 作者在具有混合单调性的完备 JS-度量空间中，基于 $k$-压缩条件（$k \in [0,1)$）证明了映射 $F: X^2 \to X$ 的耦合不动点存在性。
• 在给定的压缩和完备性假设下，构造的序列 $(x_n, y_n)$ 收敛至一个耦合不动点 $\tilde{z} = (\tilde{x}, \tilde{y})$，其中 $\tilde{x} = F(\tilde{x}, \tilde{y})$ 且 $\tilde{y} = F(\tilde{y}, \tilde{x})$。
• 若两个此类不动点可比较，或具有有限的 $D_+$-距离的共同上界或下界，则可证明耦合不动点的唯一性。
• 若 $\tilde{x}$ 与 $\tilde{y}$ 可比较且满足 $D(\tilde{x}, \tilde{y}) < \infty$，则必有 $\tilde{x} = \tilde{y}$，即不动点的两个分量相等。
• 证明方法与以往文献不同，依赖于基于 $\limsup$ 的 JS-度量公理和 $D_+$-度量结构，从而得到更简洁的收敛性论证。
• 构造了一个非平凡的例子以验证主要结果，展示了该理论在具体 JS-度量空间中的适用性。