[论文解读] A New Approach to Multi-Party Peer-to-Peer Communication Complexity

Adi Rosén, Florent Urrutia|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本文提出了一种新颖的信息论模型与度量——多方信息成本（MIC）——用于分析自然的多方对等、手中数字（number-in-hand）设置下的随机通信复杂度。当 n = Ω(k) 时，该研究为 k 个参与者的不相交函数（Disjointness）和按位奇偶函数（bitwise Parity）建立了紧致的 Ω(kn) 下界，这是该设置下的首次非平凡紧致下界，并进一步证明了在私密计算不相交函数时，随机性复杂度的 Ω(n) 下界。

ABSTRACT

We introduce new models and new information theoretic measures for the study of communication complexity in the natural peer-to-peer, multi-party, number-in-hand setting. We prove a number of properties of our new models and measures, and then, in order to exemplify their effectiveness, we use them to prove two lower bounds. The more elaborate one is a tight lower bound of $\Omega(kn)$ on the multi-party peer-to-peer randomized communication complexity of the $k$-player, $n$-bit Disjointness function. The other one is a tight lower bound of $\Omega(kn)$ on the multi-party peer-to-peer randomized communication complexity of the $k$-player, $n$-bit bitwise parity function. Both lower bounds hold when ${n=\Omega(k)}$. The lower bound for Disjointness improves over the lower bound that can be inferred from the result of Braverman et al.~(FOCS 2013), which was proved in the coordinator model and can yield a lower bound of $\Omega(kn/\log k)$ in the peer-to-peer model. To the best of our knowledge, our lower bounds are the first tight (non-trivial)lower bounds on communication complexity in the natural {\em peer-to-peer} multi-party setting. In addition to the above results for communication complexity, we also prove, using the same tools, an $\Omega(n)$ lower bound on the number of random bits necessary for the (information theoretic) private computation of the $k$-player, $n$-bit Disjointness function .

研究动机与目标

• 为解决在自然的多方对等、手中数字设置下缺乏有效的模型与工具来分析通信复杂度的问题。
• 开发一种新的信息论框架——多方信息成本（MIC）——以支持对这一设置下通信协议的严谨分析。
• 在对等模型中，为诸如不相交函数与奇偶函数等基本函数建立通信复杂度的紧致下界。
• 证明在该设置下，私密计算不相交函数所需的随机位数的下界，表明其随输入规模增长。

提出的方法

• 提出一种新的异步对等通信模型，支持所有参与者对之间的显式消息传递，仅限制于正规同步协议。
• 引入多方信息成本（MIC）作为新的信息论度量，以量化通信复杂度。
• 定义并分析中间度量：外部信息成本（eIC）、内部信息成本（bIC）与公开信息成本（PIC），以分解 MIC。
• 利用信息论不等式与链式法则，将 MIC 与通信复杂度及随机性复杂度关联起来。
• 通过界定 PIC(π) 来应用该框架证明下界，利用外部计算的约化与协议变换。
• 采用先前关于随机性复杂度的研究技术，针对多方对等设置进行调整，并引入新的分布与条件独立性分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多方对等、手中数字设置下，研究通信复杂度的正确模型与信息论度量是什么？
• RQ2 能否在这一自然的对等模型中为诸如不相交函数与奇偶函数等基本函数建立紧致下界？
• RQ3 在该设置下，私密计算不相交函数所需的最少随机位数是多少？
• RQ4 在多方对等设置中，两方分析中关键的矩形性性质（rectangularity property）如何表现？

主要发现

• 本文为 k 个参与者在 n = Ω(k) 条件下，建立了 k-参与者不相交函数 Disjn_k 的随机通信复杂度的紧致 Ω(kn) 下界。
• 在相同条件下，证明了 k-参与者按位奇偶函数 Parn_k 的随机通信复杂度的紧致 Ω(kn) 下界。
• 这些下界通过公开信息成本（PIC）的下界推导得出，而 PIC 又界定了通信复杂度。
• 本文证明了在私密计算 Disjn_k 时，Ω(n) 个随机位是必需的，这是首个针对布尔函数且随输入规模增长的此类下界。
• 这些结果代表了在自然对等多方设置下通信复杂度的首次非平凡紧致下界。
• 该框架表明，MIC 及相关的信息成本度量是分析分布式环境中复杂通信模式的有效工具。